數列一．等差數列性質總結
1．等差數列的定義：（d為常數）（）；
2．等差數列通項公式： ，首項: ，公差:d，末項:
推廣：． 從而；
3．等差中項
（1）如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
（2）等差中項：數列是等差數列
4．等差數列的前n項和公式：
（其中a．b是常數，所以當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0）
特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項
（項數為奇數的等差數列的各項和等於項數乘以中間項）
5．等差數列的判定方法
（1） 定義法：若或 (常數)是等差數列．
（2） 等差中項：數列是等差數列．
（3）數列是等差數列（其中是常數）。
（4）數列是等差數列,（其中a、b是常數）。
6．等差數列的證明方法
定義法：若或 (常數)是等差數列．
7．提醒：
（1）等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）設項技巧：
①一般可設通項
②奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；
③偶數個數成等差，可設為…，,…（注意；公差為2）
8．等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；前和是關於的二次函式且常數項為0．
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有．
注：，（4）若．為等差數列，則都為等差數列
（5） 若{}是等差數列，則，…也成等差數列
（6）數列為等差數列，每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列
（7）設數列是等差數列，d為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和
1．當項數為偶數時，
； ；2．當項數為奇數時，則
（其中是項數為2n+1的等差數列的中間項）．
（8）、的前和分別為、，且，則．
（9）等差數列的前n項和，前m項和，則前m+n項和
(10)求的最值
法一：因等差數列前項和是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，但要注意數列的特殊性。
法二：（1）「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和
即當由可得達到最大值時的值．
（2）「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。
即當由可得達到最小值時的值．或求中正負分界項
法三：直接利用二次函式的對稱性：由於等差數列前n項和的影象是過原點的二次函式，故n取離二次函式對稱軸最近的整數時，取最大值（或最小值）。若s p = s q則其對稱軸為
二．等比數列性質總結
1．等比數列的定義：，稱為公比
2．通項公式：
， 首項：；公比：
推廣從而得或
3．等比中項
（1）如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列是等比數列
4．等比數列的前n項和公式：
(1) 當時，
(2) 當時，
（為常數）
5．等比數列的判定方法
（1）用定義：對任意的n，都有為等比數列
（2） 等比中項：（0）為等比數列
（3） 通項公式： 為等比數列
（4） 前n項和公式： 為等比數列
6．等比數列的證明方法
依據定義：若或為等比數列
7．注意
（1）等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；
如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為，中間項用表示）；
8．等比數列的性質
(1) 當時
①等比數列通項公式是關於n的帶有係數的類指數函式，底數為公比
②前n項和，係數和常數項是互為相反數的類指數函式，底數為公比
(2) 對任何m，n，在等比數列中，有，特別的，當m=1時，便得到等比數列的通項公式。因此，此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m，n，s，t)，則。特別的，當n+m=2k時，得
注： (4) 列，為等比數列，則數列，，，， (k為非零常數) 均為等比數列．
(5) 數列為等比數列，每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列
(6) 如果是各項均為正數的等比數列，則數列是等差數列
(7) 若為等比數列，則數列，，，成等比數列
(8) 若為等比數列，則數列，，成等比數列
(9) ①當時，；
②當時，
③當q=1時，該數列為常數列（此時數列也為等差數列）；
④當q<0時，該數列為擺動數列．
(10)在等比數列中，當項數為2n (n)時，．
(11)若是公比為q的等比數列，則
注意：解決等比數列問題時，通常考慮兩類方法：
①基本量法：即運用條件轉化為關於和的方程；
②巧妙運用等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．
題型一：定義相關
1．數列中，有序數對（a，b）可以是（ ）
a．（21，-5） b．（16，-1） c． d．
2．已知數列的前n項和，第k項滿足，則k=（ ）
a．9b．8c．7d．6
3．（1）等差數列中，am=，（m≠），則通項公式為（ ）
a．an=m++n b．an=m+-n c．an=n-m- d．
（2）在等差數列中，am=n，an=m（m≠n），則am+n為（ ）
a．m-nb．0c．m2d．n2
4．若a≠b，兩個等差數列a，x1，x2，b與a，y1，y2，y3，b的公差分別為d1，d2，則=
答案：5．已知兩個等差數列a1，a2，a3，a4，a5和b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中a1=b2，a5=b5，則的值是（ ）
abcd．
6．（2023年浙江理7）設s n是公差為d(d≠0)的無窮等差數列的前n項和，則下列命題錯誤的是（ ）
a．若d＜0，則數列有最大項
b．若數列有最大項，則d＜0
c．若數列是遞增數列，則對任意的nn*，均有s n＞0
d．若對任意的nn*，均有s n＞0，則數列是遞增數列
7．（2013福建理）已知等比數列的公比為q,記
，則以下結論一定正確的是( )
a．數列為等差數列，公差為 b．數列為等比數列，公比為
c．數列為等比數列，公比為 d．數列為等比數列，公比為
解析：等比數列的公比為q, 同理可得,數列為等比數列，故選c
8．（2013遼寧理）下面是關於公差的等差數列的四個命題：（ ）
其中的真命題為（ ）
abcd．
設，所以正確；如果則滿足已知，但並非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數列，所以錯；，所以是遞增數列，正確,選d．
9．若a、b、c成等比數列，其中0＜a＜b＜c，n是大於1的整數，那麼logan，logbn，logcn組成的數列是（ ）
a．等比數列b．等差數列
c．每項的倒數成等差數列d．第二項與第三項分別是第一項與第二項的n次冪
10．數列l，a，a2，a3，… ，an-1的前n項和為( )
abcd．以上均不正確
11．在14與之間插入n個數組成等比數列，若各項總和為，則此數列的項數為( )
a．4b．5c．6d．7
12．給定公比為q(q≠1)的等比數列，設b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，則數列是（ ）。
a．等差數列b．公比為q的等比數列
c．公比為q3的等比數列d．既非等差又非等比數列
13．下列命題中是真命題的是 ( )
a．數列是等差數列的充要條件是 ()
b．已知乙個數列的前項和為，如果此數列是等差數列，那麼此數列也是等比數列
c．數列是等比數列的充要條件
d．如果乙個數列的前項和，則此數列是等比數列的充要條件是
14．數列的前項和，則關於數列的下列說法中，正確的個數有（ ）
①一定是等比數列，但不可能是等差數列；②一定是等差數列，但不可能是等比數列；③可能是等比數列，也可能是等差數列；④可能既不是等差數列，又不是等比數列；⑤可能既是等差數列，又是等比數列。
a．4b．3c．2d．1
15．下列命題中，正確命題的序號為
①若為等比數列，且k+l=m+n（k、l、m、n∈n+)，則akal=aman；
②若為等比數列，公比為q，則也是等比數列，公比為q2；
③若為等比數列，公比為q，則也是等比數列，公比為q2；
④若、是等比數列，則也是等比數列。
答案：①②④
16．在等差數列中，（其中，m、n），則
答案：-（m+n）
17．已知數列中，，且是遞增數列，求實數的取值範圍
二．性質應用
1．已知數列中，，則
答案：4700
2．設是公差為-2的等差數列，如果，那麼（ ）
數列練習題 2 含答案
練習題數列 一 等差數列 1 通項公式 判斷 若an 1 an n，數列是等差數列嗎？2 性質 若m n p q m，n，p，qn 則 若m n 2l m，n，ln 則 練習 數列為等差數列，a2 a8 20，則a5 數列為等差數列，a4 a17 20，則s20 3 等差數列的前n項和sn 題型 a...
等差數列的性質同步練習題2 含答案
等差數列的性質同步練習題二班級姓名 1 已知等差數列中，a1 a4 a7 39,a2 a5 a8 33,則a3 a6 a9等於 a 30b 27c 24d 21 2 已知在等差數列 an 中，a1 0，s25 s45，若sn最小，則n為 a 25b 35c 36d 45 3 設是等差數列，公差為d,...
數列與函式極限 綜合含答案
83 數列 函式的極限 選 一 考試大綱掃瞄 1 了解數列極限和函式極限的概念 2 掌握極限的四則運算法則 會求某些數列與函式的極限 3 了解函式連續的意義，了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質 二 知識梳理與方法提煉 1 數列極限 1 數列極限的概念 一般地，如果當項數無限增大時，無窮數列的...