數列專題研究（一）
1．在等比數列中，前n項和為sn，若s3＝7，s6＝63，則公比q的值是a )
a．2b．－2c．3d．－3
2．(2011·江西)設為等差數列，公差d＝－2，sn為其前n項和，若s10＝s11，則a1等於( b )
a．18b．20c．22d．24
3．在各項均不為零的等差數列中，若an＋1－a＋an－1＝0 (n≥2)，則s2n－1－4n等於( a )
a．－2b．0c．1d．2
4．(2011·大綱全國)設sn為等差數列的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，sk＋2－sk＝24，則k等於d )
a．8b．7c．6d．5
5．已知數列中，a3＝2，a5＝1，若是等差數列，則a11等於a )
a．0bcd.
6．在數列中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an (n∈n*)，則a100等於 ( b )
a．1b．－1c．5d．－5
7．數列中，a1＝1，對於所有的n≥2，n∈n*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等於( a )
abcd.
8．已知數列，，2，…，根據數列的規律，2應該是該數列的第________項．7
9．數列，，，，…中，有序數對(a，b)是
10．(課本精選題)已知兩個數列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數列，且x≠y，則的值為________．
11．等差數列的前n項和為sn，且6s5－5s3＝5，則a4
12．設等差數列、的前n項和分別為sn、tn，若對任意自然數n都有＝，則＋的值為________．
13．在等比數列中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，則a7＋a8240
14．在等比數列中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，則a7＋a85
15.根據下列條件，確定數列的通項公式．
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋22)在數列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；
(3)在數列中，a1＝1，an＋1＝； (4)a1＝1，an＝an－1 (n≥2)；
(5)已知數列滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.
(6)在數列中，a1＝8，a2＝2，且滿足an＋2－4an＋1＋3an＝0.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，
∴數列為等比數列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
(2)由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，
又a1－1＝1，所以數列是首項為1，且公比為4的等比數列，∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n.
(3)將an＋1＝取倒數得：＝2＋.∴－＝2，又＝1，
∴是以1為首項，2為公差的等差數列．∴＝1＋2(n－1)，∴an＝.
(4)∵an＝an－1 (n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)個式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
(5)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．
當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.
(6)將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
則數列是以a2－a1＝－6為首項，3為公比的等比數列，則an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n.
16.已知數列滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈n*.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：是等比數列；(2)求的通項公式．
(1)是首項為1，公比為－的等比數列．
(2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝， 當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－，當n＝1時，－＝1＝a1，∴an＝－ (n∈n*)．
17.已知數列的前n項和為sn，且滿足sn＝(n≥2)，a1＝2.
(1)求證：是等差數列；(2)求an的表示式．
解：(1)證明由sn＝，得＝＝＋2，∴－＝2，
∴是以即為首項，以2為公差的等差數列．
(2)an＝
18.(1)在等差數列中，已知a1＝20，前n項和為sn，且s10＝s15，求當n取何值時，sn取得最大值，並求出它的最大值；
(2)已知數列的通項公式是an＝4n－25，求數列的前n項和．
解 ∵a1＝20，s10＝s15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，∴當n＝12或13時，sn取得最大值，且最大值為s13＝s12＝12×20＋×＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以數列是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數列．
令由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
即數列的前6項是以21為首項，公差為－4的等差數列，從第7項起以後各項構成公差為4的等差數列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.設的前n項和為tn，則
tn＝＝
19.已知數列的前n項和為sn，數列中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋sn＝n.
(1)設cn＝an－1，求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
(1)證明 ∵an＋sn＝nan＋1＋sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴是等比數列．∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴是以－為首項，為公比的等比數列．
(2)解由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.
∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
20.設數列的前n項和為sn，已知a1＝1，sn＋1＝4an＋2.
(1)設bn＝an＋1－2an，證明：數列是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
(1)證明由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝sn＋2－sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，於是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.
因此數列是首項為3，公比為2的等比數列．
(2)解由(1)知等比數列中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，
於是－＝，因此數列{}是首項為，公差為的等差數列，
＝＋(n－1)×＝n－，所以an＝(3n－1)·2n－2.
21.在等比數列中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解 (1)設公比為q，則＝q3，即q3＝－，∴q＝－，∴an＝a5·qn－5＝n－4.
(2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
22.(1)在等比數列中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比為整數，求a10；
(2)已知等比數列中，有a3a11＝4a7，數列是等差數列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；
解 (1)a4·a7＝a3·a8＝－512，∴，解之得或.
當時，q5＝＝－32，∴q＝－2.∴a1＝＝－1，∴a10＝a1q9＝－1×(－2)9＝512.
當時，q5＝＝－，q＝－.又∵q為整數，∴q＝－捨去．綜上：a10＝512.
(2)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵為等差數列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
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