《高等代數專題研究》作業參***
高等代數專題研究作業1
一、單項選擇題：1-5：bcbdb
二、填空題1、交換。2、不等價、等價。3、，且是a到b的雙射。
4、具有下面性質的自然數的任何集合m滿足：如果，則。則m含有一切自然數，即。
5、對於乙個與自然數有關的命題t，若i：若n=1時命題t正確；ii：假設命題t對n三、計算題
1、解：到的對映一共有個，它們是：
，， 2、解：，
3、解：1）在g中，，並且，可表為兩個不相交的輪換的乘積：。
2），3）
四、證明題
1、證明：
2、證明：則於是由a與b惟一確定的（即不會得出以上不同的結果），且為實數，所以「」是乙個代數運算。
，，所以，即「」滿足結合律。
3、證明：當n=2時，，因此命題對n=2正確。
當n=4時，，因此命題對n=4正確。
同理可推出命題對，都正確（s為任意自然數），所以命題對無窮多個自然數成立。
設命題對n=k正確，令，則，由歸納假設命題對n=k正確，所以，所發，
即，命題對n=k-1也正確，由反歸納法原理知，命題對一切自然數成立。
4、當n=2時，上述不等式成立，假設，
則於是對一切的自然數n來說，。
五、簡述題
1、答：，給予證明如下：
任取，且，則是單射。
任取，若為奇數，則有，使與之對應；
若為偶數，則有，使與之對應，所以有是滿射。
所以是從z到n的雙射。
2、答：空集合的冪集不是空集合。應為。
高等代數專題研究作業2
一、單項選擇題：1-5：daccb
二、填空題：
1、 2、3、
4、 5、
三、計算題
1、解：
所以原不等式的解集為。
2、解：
，即。其中當且僅當，且成立，
解得，所以當時，取極大值，。
3、解：這是乙個求具有約束條件的極值問題，由於它有三個變數，因而不能用消元法來解，但
，只有當時等式成立。
所以只有當時，取最小值。
四、證明題
1、證明：
，因都是正數，上式變為，得證。
2、證明：令，
再令，得的一元二次方程：，由於，所以
，所以，即。
3、證明：因為是等差數列，則，則均值不等式，得
，又：，，，，
所以，所以，故結論得證。
五、簡述題
1、答：設函式在某區間上定義，對於區間上的任意兩點，都有
，其中，則稱在該區間上是下凸函式。
2、答：比較法、綜合法、分析法、數學歸納法、反證法、換元法、放縮法。
高等代數專題研究作業3
一、單項選擇題：1-5：bddac
二、填空題
1、1，3，5，7 2、如果d是a與b的公因式，且有，均有。 3、代數
4、1 5、-4，2（重根）
三、計算題
1、證：1）若，則，
且，故是有單位元素1的數環，因而是整環。
2）為中全部可逆元素。為奇素）為中全部不可約元素。
2、解：是的可逆元素。
，是的可逆元素。
因此，是的全部可逆元素。
四、證明題
1、證明：首先是整環，零理想是主理想，設是的任一非零理想，是中次數最低的多項式，則對任意有，使，其中或的次數《的次數，由知，若則的次數《的次數，這與是中次數最低的多項式矛盾，故必有，從而，這就證明了是由生成的主理想。
2、證：若之中有零或單位，易見結論成立。
不妨設都既非零也非單位，因為，所以有，將都分解為不可約元素的乘積，若非單位也將其分解：，則，由因式分解的惟一性，每個都與等式左邊的乙個因子相伴，因為，所以不與任何乙個相伴，適當調整因子的次序，不妨設分別與相伴，於是可知。
3、證：由可知，，因是本原多項式，所以
，由上第2題結論知：。
4、證：設，若從代數觀點出發，則它們相應係數有以下關係：，顯然它們在任意點的函式值也相同，即從函式論觀點出發。
反之，若從函式論觀點出發，則，這時域中所有元素都是的根。但是是乙個次數不超過的多項式，在中至多有個根，而前述有無限多個根，這個矛盾證明必有，即從代數觀點有。
五、簡述題
1、答：定義：設是乙個整環，如果中每乙個不等於的非單位元素均可寫成：
，其中是不可約元素，並且如果還有，其中也是不可約元素，則必有，且適當調整的順序後，有，則稱是因式分解惟一環。
2、答：定理：任何實係數次多項式至少有乙個複數根。
高等代數專題研究作業4
一、單項選擇題：1-5：bdcaa
二、填空題
1、 2、 3、
4、， 5、
三、計算題
1、解：把輛小轎車視為一輛，與輛大卡車排隊有種方法，而小轎車又有種停放方法，所以一共有
種停放方法。
2、解：用相同元素的重複排列公式：，不同的擺法有：種。
3、解：展開合併同類項後共有：展開後每一項都是5次多項式，它的不同項實際上是從6個元素中取5個元素的方法數項，而的係數為：從3元素中取2個a，2個b，1個c，即為
，所以的係數為30。
4、解：設表示能被整除而不大於2000的自然數集合，這時，，
根據定理：
5、解：用遞推公式：，，
對樓梯作歸納：當，只有乙個台階，只有一種走法；
當，可以一步一階，也可一步兩階，；
當，可一步一階，也可一步兩階一階或一階兩階，；，，
。6、解：設
，，1）至少參加一項比賽的人數：
2）只參加四百公尺比賽的人數：
。四、證明題
1、證明：因，所以，
，所以。
令，上式化為，所以，當時，有
五、簡述題
答：抽屜原理：如果把件東西裝入個抽屜，則至少有1個抽屜裡的東西不少於2件。
抽屜原理：設都是正整數；和進有件東西放進個抽屜，則第1個抽屜至少有件東西，或第2個抽屜至少有件東西，……，或第個抽屜至少有件東西，其中至少有一條必成立。
高等數學形成性考核冊答案
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