高等數學（b）（1）第一次作業
初等數學知識
一、 名詞解釋
鄰域：設和是兩個實數，且，滿足不等式的實數的全體稱為的鄰域。
絕對值；數軸上的點到原點的距離稱為的絕對值，記為。
數軸：規定了原點、正方向和長度的直線稱為數軸。
實數：實數由有理數和無理數組成。有理數包括整數和分數。
二、 填空題
1、絕對值的性質有
2、開區間的表示有（）、（）（提示：分別用區間和數軸形式表示）
3、閉區間的表示有（）、（）。
4、無窮大的記號（）。
5．（-∞，+∞）表示（ 全體實數），或記為（ r）。
6、（-∞，b）表示（滿足不等式的一切實數），或記為（）。
7、（a，+∞）表示（（滿足不等式的一切實數），或記為（）。
8、去心鄰域是指（滿足不等式且）的全體，用數軸表示即為（p7下圖）。
9、滿足不等式的數x用區間可表示為（）。
三、 回答題
1、初等數學為高等數學做了哪些準備？
答：（1）發展符號意識，實現從具體數學的運算到抽象符號運算轉變。符號是一種更為簡潔的語言，沒有國界，全世界共享，並且這種語言具有運算能力。
（2）培養嚴密的邏輯思維能力，實現從具體描述到嚴格證明的轉變。
（3）培養抽象思維的能力，實現從具體數學到概念化數學的轉變。
（4）發展變化意識，實現從常量數學到變數數學的轉變。
2、有理數包括哪些數？
答：有理數包括整數和分數。
3、 數軸上二個有理數之間都是有理數嗎？
答：二個有理數之間有有理數，也有無理數。
4、 不等式等價於哪個區間？
答：等價於。
a) 點的鄰域如何表示？
答：。5、 計算題
a) 解不等式
解：，，或；
所以不等式的解為。
b) 解不等式
解：，，或；
所以不等式的解為。
c) 解方程
解：，，或。
函式一、 名詞解釋
函式答：設和是兩個變數，若當變數在其變動區域d內取任一數值時，變數依照某一法則總有乙個確定的數值與值對應，則稱變數為變數的函式，記作。
奇函式答：設函式在關於原點對稱的集合d上有定義，如果對任意的，恒有，則稱函式為奇函式。
偶函式答：設函式在關於原點對稱的集合d上有定義，如果對任意的，恒有，則稱函式為偶函式。
定義域答：在函式的定義中，自變數的變動區域，稱為函式的定義域。
值域答：在函式的定義中，的取值的集合稱為函式的值域。
初等函式
答：由基本初等函式經過有限次的四則運算或復合運算而得到的函式稱為初等函式。
三角函式
答：正弦函式，余弦函式，正切函式，餘切函式，正割函式，餘割函式合稱三角函式。
指數函式：
答：函式，稱為指數函式。
復合函式
答：設是的函式，是的函式，如果的值哉包含在的定義域中，則通過構成的函式，記作，這種函式稱為復合函式，其中稱為中間變數。
對數函式
答：函式，稱為對數函式。
反函式答：設設是的函式，其值域為g，如果對於g中的第乙個值，都有有乙個確定的且滿足的值與它對應，則得到乙個定義在g 上的以為自變數，為因變數的新函式，稱它為的反函式，記作，並稱為直接函式。
冪函式答：函式（為實數）稱為冪函式。
常數函式
答：函式（為實數）稱為常數函式，它的定義域是。
常量答：一類量在考察的過程中不發生變化，只取乙個固定的值，我們稱它為常量。
變數答：一類量在考察的過程中是變化的，可以取不同的數值，我們稱它為變數。
二、 填空題
1、函式概念最早是由（萊布尼茲）引進的，有了函式概念，人們就可以從（數量）上確切地描述運動。
2、在歷史上第乙個給出函式一般定義的是（狄里克雷），並給出了乙個不能畫出圖形的函式，這就是著名的（狄里克雷函式），它的表示式是（）。
3、函式的三種表示方法：（解析表示式），（圖形式），（**式）。
4、函式表達了（因變數）與（自變數）之間的一種對應規則。
5、單值函式是當（自變數）在（定義域）中取定了一數值時，與之對應的（函式值）是唯一的函式。
6、奇函式的影象特點是（影象關於原點對稱 ）。
7、單調函式的影象特點是（沿軸正向逐漸上公升或沿軸正向逐漸下降）。
8、反函式的影象特點是（與原函式的影象關於直線對稱）。
三、 回答題
1、 什麼是有界函式？
答：設函式在集合d上有定義，如果存在乙個正數m，對於所有的，恒有，則稱函式在d上為有界函式。
2、 對於有界函式要注意哪幾點？
答：對於函式的有界性，要注意以下幾點：
（1）當乙個函式在區間內有界時，正數m的取法不是唯一的。
（2）有界性是依賴於區間的。
3、 什麼是單調函式？
答：設函式在區間內有定義，如果對於內的任意兩點和，當《時，恒有，則稱函式在區間內單調增加；如果對於內的任意兩點和，當《時，恒有，則稱函式在區間內單調減少。單調增加函式和單調減少函式統稱單調函式。
4、 反函式存在定理是什麼？
答：若函式在上是單調的，其值域是，則函式存在反函式，其定義域是，值域為。
四、 作圖題
（1）用描點法，即多取幾個值，算出相應的值，作出眾多點後，用光滑曲線鏈結即可。見29-41頁。詳細過程略。
（2）見29-41頁。略
（3）見29-41頁。略
（4）見29-41頁。略
（5）見29-41頁。略
（6）見29-41頁。略
（7）見29-41頁。略
（8）見29-41頁。略
（9）見29-41頁。略
（10）
見29-41頁。略
（11）
見29-41頁。略
（12）
見29-41頁。略
五、 計算題
(1)已知圓的周長為l,求圓的面積s.
解：，。
(2)已知長方形的周長為60cm,其中一邊為10cm,求其面積。
解：另一邊為，求面積為（cm2）
（3）求的定義域。
解： ，所以所求定義域為。
（4），求f(2), f(1/2), f(a+b), f(x2)
解：f(2)=，
f(1/2),
f(a+b),
f(x2)
(5)求的反函式，並指出它的定義域。
解：，，，，所以所求反函式為。
（6）求復合函式，已知，，。
解： ，
六、 論述題
你能對復合函式作幾點解釋？
答；（1）復合函式是函式之間的一種運算。
（2）不是任何兩個函式都可以構成乙個復合函式，如和就不能構成復合函式，因為後乙個函式的值域不包含在前乙個函式的定義域中。
（3）復合函式分解的結果不一定是純粹的基本初等函式，更多的是由基本初等函式經四則運算形成的函式構成的。
一、 名詞解釋
極限答：極限分為數列極限和函式極限。
無窮小量
答：極限為0的變數稱為無窮小量，簡稱無窮小。
連續答：函式在及其鄰域有定義，且成立，則稱函式在點處連續。否則稱在點處不連續，或稱間斷，點稱為間斷點。
數列極限
答：對於數列，如果當無限增大時，無限地靠近乙個常數a，則稱數列以a為極限，記為：。
函式極限
答：對於函式在（此可為）的鄰域內有定義，且當時，無限地靠近乙個常數a，則稱在處有極限a，記為：。
無窮大量
答：如果當（）時，的值無限地增大，則稱是無窮大量，簡稱無窮大，記為或。
二、 填空題
1、從極限產生的歷史背景來看，極限概念產生於（解決微分學與積分學的基本問題）：求面積，體積，弧長，（瞬時速度）以及（曲線在一點）的切線問題。
2、極限概念描述的是（變數在某一變化過程中）的終極狀態。
3、在中國古代，極限概念已經產生，我國春秋戰國時期的《莊子。天下篇》中說：（一盡之棰）、（日取一半）、（萬世不竭），就是極限的樸素思想。
4、公元3世紀中國數學家（劉徽）的割圓術，就用圓內接正多邊形周長去逼近（圓周長）這一極限思想近似地計算（圓周率）的。
5、極限概念產生於（拋物線下的面積）和（曲線的切線）兩個實際問題。
三、；回答題
1簡述連續性概念
答：設函式在及其鄰域有定義，且成立，則稱函式在點處連續。否則稱在點處不連續，或稱間斷，點稱為間斷點。
2、間斷點分為幾類？
答：間斷點分為第一間斷點和第二間斷點。
3、什麼是單側連續？
答：如果函式在及其鄰域有定義，且，則稱在點處右連續。
類似地，如果函式在及其鄰域有定義，且，則稱在點處左連續。
4、什麼是連續函式？
答：若函式在它的定義域上的每一點都是連續的，則稱是連續函式。
5、述復合函式的連續性定理
答：設在點連續，在點連續，而，並設在點的某一鄰域內是有定義的，則復合函式在點連續。
四、論述題
極限思想的意義
答：極限思想體現了兩個轉化：
（1）有限與無限的相互轉化。如極限式，從左向右看，是無限向有限的轉化；從右向左看，是有限中包含著無限。在學習極限的時候，我們較多地注意到無限向有限轉化的這個側面，而常常忽略有限包含無限這個側面。
（2）近似與精確相互轉化。定積分是一種和式的極限，定積分的近似計算就是用有限和去代極限值，得用了近似與精確這對矛盾的轉化。
另外，如果我們從哲學上來看待極限概念，首先它表現了量變質變律：量的變化引起了質的變化。例如，有理數的序列可以有無理數的極限；還有近似轉化為精確，也是量變引起了質變；其次，它表現了否定之否定律：
有限-無限-有限；最後，它反映了對立統一律：有限與無限的對立與統一，近似與精確的對立統一，質與量的對立統一；運動與靜止的對立統一等等。
極限概念的含義是豐富的，它的多種應用就基於此。
五、計算題
（1）解： 。
（2）解： 。
（3）解：
（4）解： 。
六、討論在處的極限是否存在。
解：，，所以在處的極限不存在。
作業二一、 名詞解釋
導數答：設函式在點的某領域內有定義，給以改變量，則函式的相應改變量為，如果當時，兩個改變量比的極限：存在，則稱這個極限為函式在可導或具有導數，也稱為在可微。
平均變化率
答：設函式在點的某領域內有定義，給以改變量，則函式的相應改變量為，則稱為平均變化率
瞬時變化率
答：設函式在點的導數，稱為在在點的瞬時變化率
導函式答：若函式在點可導，導數為，則可建立乙個函式，這就是導函式
**導數
答：，都稱為高階導數。
駐點答：若函式在某一點的導數=0，則稱為函式的駐點。
極值答：若函式在點的領域內有定義，若對任意的，都有，則稱為函式的極大值（或極小值）。
二、 填空題
1、導數的物理意義是（距離函式的導數為速度，速度函式的導數為加速度）
2、導數的幾何意義是（函式在某點處的導數，就是該函式在這點處的切線的斜率）
3、導數的第三種解釋是（函式的微分除以自變數的微分）
4、導數是一種特殊的極限，因而它遵循（極限運算）的法則。
5、可導的函式是連續的，但連續函式（不一定可導）。
三、回答題
1、什麼是費馬定理？
答：設函式在點的領域內有定義並且在處可導，如果對任意的，有，那麼。
2、什麼是羅爾定理？
答：設函式在上連續，在開區間可導，並且滿足條件，那麼至少存在一點，使得。
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第1章函式極限與連續 一 單項選擇題 二 填空題 1 2 3 4 5 6 無窮小量.三 計算題 1 解 2 解 要使有意義，必須 解得 3 解 如圖，梯形abcd為半圓o的內接梯形，4 解 原式 5 解 原式 6 解 原式 7 解 原式 8 解 原式 9 解 原式 高等數學基礎 作業2答案 導數與微...
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