高等數學基礎作業
作業1一、ccbc dca
二、1、（3， +∞) ，2、 x2 - x ，3、 e1/ 2 ，4、 e ，
5、 x=0 ，6、 無窮小量 。
三、1、f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e
2、由解得x<0或x>1/2，函式定義域為(-∞，0)∪(1/2，+∞)
3、如圖梯形面積a=(r+b)h，其中∴4、
5、6、
7、8、
9、10、
∴函式在x=1處連續
不存在，∴函式在x=-1處不連續
作業2一、 bdadc
二、1、f＇(0)= 0 ，2、f＇(lnx)= (2/x)lnx+5/x ，
3、 1/2 ， 4、 y=1 ，5、 2x2x(lnx+1) ，6、 1/x 。
三、1、求y＇
(1)、y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex
=(3/2x1/2+x3/2+3)ex
(2)、y＇=-csc2x + 2xlnx +x
(3)、y＇=(2xlnx-x)/ln2x
(4)、y＇=[(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)]/x6
(6)、y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x
(7)、y＇=[(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3]/32x
=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x
(8)、y＇=extanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x
2、求y＇
(1)、y＇=
(2)、y＇=(1/cosx)(-sinx)=-tanx
(3)、y=x7/8 y＇=(7/8)x -1/8
(4)、y＇=2sinxcosx=sin2x
(5)、y＇=2xcosx2
(6)、y＇= -exsinex
(7)、y＇=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nx
(8)、y＇=cosx 5sinxln5
(9)、y＇=-sinx ecosx
3、求y＇
(1)、方程對x求導：y＇cosx-ysinx=2 y＇e2y
y＇=ysinx / (cosx-2e2y)
(2)、方程對x求導：y ＇= y ＇(-siny)lnx +(1/x)cosy
y＇=[(1/x)cosy] / (1+sinylnx)
(3)、方程對x求導：2siny + y＇2xcosy=(2xy-x2 y＇)/y2
y＇=2(xy –y2siny) /(x2+2xy2cosy)
(4)、方程對x求導：y＇=1+ y＇/y， y＇=y /(y-1)
(5)、方程對x求導：1/x+ y＇ey=2y y＇， y＇=1/x(2y-ey)
(6)、方程對x求導：2y y＇=exsiny + y＇ excosy
y＇= exsiny/(2y- excosy)
(7)、方程對x求導：y＇ey =ex -3y2 y＇， y＇=ex/ey+3y2
(8)、方程對x求導：y＇=5xln5 + y＇2yln2
y＇=5xln5 /(1-2yln2)
4、求微分
(1)、y＇= - csc2x – cscx cotx， dy=-( csc2x + cscx cotx)dx
(2)、y＇=[(sin/x)-cosx lnx] /sin2x dy=dx
(3)、y＇=2sinxcosx， dy=sin2xdx
(4)、y＇=exsec2x， dy=( exsec2x)dx
5、求y＂
(1)、y＇=(1/2)x -1/2 ，y＂=(1/4)x – 3/2
(2)、y＇= 3xln3，y＂=3xln23
(3)、y＇=1/x，y＂= -1/x2
(4)、y＇=sinx+xcosx ，y＂=cosx+cosx-xsinx=2 cosx-xsinx
四、由 f(x)= - f(-x) 求導f＇(x)= - f＇(-x)(-x)＇
f＇(x)= f＇(-x)， ∴f＇(x)是偶函式
作業3一、 ddacca
二、1、 極小值 ，2、 0 ，3、 (-∞，0) ，
4、 (0，+∞) ，5、 f(a) ，6、 x=0 。
三、計算
1、y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)
由y＇=0求得駐點x=1，5.
列表(-∞，1)和 (5，+∞)為單調增區間， (1，5)為單調減區間，極值為ymax=32，ymin=0。
2、y＇=2x-2，駐點x=1是極小值點，在區間[0，3]上最大值為y(3)=6，最小值為y(1)=2。
3、曲線y2=2x上的點(x，y)到點a(2，0)的距離
d 2=x2-2x+4，(d 2)＇=2x-2，由(d 2)＇=0求得x=1，由此得所求點有兩個：
4、解右圖為圓柱體的截面，
由圖可得r2=l2-h2
圓柱體的體積v=πr2h=π(l2-h2)h
v＇=π(l2-3h2)，由v＇=0解得，
此時，圓柱體的體積最大。
5、圓柱體的表面積s=2πr2+2πrh
由體積v=πr2h解得h=v/πr2
∴ s=2πr2+2v/ r
s＇=4πr - 2v/ r2=2(2πr3 - v) / r2
由s＇=0解得，此時
答：當高與底面直徑相等時圓柱體表面積最小。
6、 設長方體底面邊長為a高為h
表面積s=a 2+4ah
∵a 2h =62.5，∴h =62.5/ a 2
s=a 2+250/a， s＇=2a - 250/a 2=(2a 3 – 250)/a 2，
由s＇=0解得a =5m，h =2.5m，此時s=75m2最小，即用料最省。
四、證明題
1、令f(x)=x-ln(1+x)， f＇(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)
當x＞0時有f＇(x)＞0，f(x)為增函式，又f(0)=0
∴當x＞0時f (x)＞0，即x＞ln(1+x)
2、令f(x)=ex/ (x+1)，
f＇(x)=[ ex(x+1)- ex]/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2
當x＞0時有f＇(x)＞0，f(x)為增函式，又f(0)=1
∴當x＞0時f (x)＞1，即ex＞x+1
作業4一、 ddbdbd
二、1、，2、f(x)=g(x)+c ，3、 ，
4、 tanx+c ，5、 -9cos3x ，6、 3 ， 7、 ＞1 。
三、計算
1、2、
3、4、
5、6、
7、8、
四、證明題
1、，在第一項中令x = - t，
則，∴0
2、，在第一項中令x = - t，則，∴
2019高等數學基礎形成性考核冊答案
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