二次函式的影象與性質
一、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式:的性質:
a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。
2.的性質:
上加下減。
3.的性質:
左加右減。
4.的性質:
二、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟:
方法一:⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下:
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移,負左移;值正上移,負下移」.
概括成八個字「左加右減,上加下減」.
方法二:
⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位,變成
(或)⑵沿軸平移:向左(右)平移個單位,變成(或)
三、二次函式與的比較
從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,後者通過配方可以得到前者,即,其中.
四、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法:利用配方法將二次函式化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點座標,然後在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關於對稱軸對稱的點).
畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點.
五、二次函式的性質
1. 當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點座標為.
當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大;當時,有最小值.
2. 當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點座標為.當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小;當時,有最大值.
六、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式:(,,為常數,);
2. 頂點式:(,,為常數,);
3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點的橫座標).
注意:任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式,但並非所有的二次函式都可以寫成交點式,只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函式解析式的這三種形式可以互化.
七、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中,作為二次項係數,顯然.
⑴ 當時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大;
⑵ 當時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大.
總結起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負決定開口方向,的大小決定開口的大小.
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.
⑴ 在的前提下,
當時,,即拋物線的對稱軸在軸左側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的右側.
⑵ 在的前提下,結論剛好與上述相反,即
當時,,即拋物線的對稱軸在軸右側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的左側.
總結起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置.
的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側則,概括的說就是「左同右異」
總結: 3. 常數項
⑴ 當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱座標為正;
⑵ 當時,拋物線與軸的交點為座標原點,即拋物線與軸交點的縱座標為;
⑶ 當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱座標為負.
總結起來,決定了拋物線與軸交點的位置.
總之,只要都確定,那麼這條拋物線就是唯一確定的.
二次函式解析式的確定:
根據已知條件確定二次函式解析式,通常利用待定係數法.用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點,選擇適當的形式,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:
1. 已知拋物線上三點的座標,一般選用一般式;
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值,一般選用頂點式;
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標,一般選用兩根式;
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點,常選用頂點式.
八、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後,得到的解析式是;
關於原點對稱後,得到的解析式是;
4. 關於頂點對稱(即:拋物線繞頂點旋轉180°)
關於頂點對稱後,得到的解析式是;
關於頂點對稱後,得到的解析式是.
5. 關於點對稱
關於點對稱後,得到的解析式是
根據對稱的性質,顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發生變化,因此永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表示式時,可以依據題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線(或表示式已知的拋物線)的頂點座標及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向,然後再寫出其對稱拋物線的表示式.
二次函式影象參考:
十一、【例題精講】
一、一元二次函式的圖象的畫法
【例1】求作函式的圖象
【解】以為中間值,取的一些值,列表如下:
【例2】求作函式的圖象。
【解】先畫出圖角在對稱軸的右邊部分,列表
【點評】畫二次函式圖象步驟:
(1)配方; (2)列表;
(3)描點成圖; 也可利用圖象的對稱性,先畫出函式的左(右)邊部分圖象,再利用對稱性描出右(左)部分就可。
二、一元二次函式性質
【例3】求函式的最小值及圖象的對稱軸和頂點座標,並求它的單調區間。
【解】由配方結果可知:頂點座標為,對稱軸為;
當時,函式在區間上是減函式,在區間上是增函式。
【例4】求函式圖象的頂點座標、對稱軸、最值。
,∴函式圖象的頂點座標為,對稱軸為
當時,函式取得最大值
函式在區間上是增函式,在區間上是減函式。
【點評】要研究二次函式頂點、對稱軸、最值、單調區間等性質時,方法有兩個:
(1) 配方法;如例3
(2) 公式法:適用於不容易配方題目(二次項係數為負數或分數)如例4,可避免出錯。
任何乙個函式都可配方成如下形式:
【二次函式題型總結】
1.關於二次函式的概念
例1 如果函式是二次函式,那麼m的值為
例2 拋物線的開口方向是對稱軸是 ;頂點為 。
2.關於二次函式的性質及圖象
例3 函式的圖象如圖所示,
則a、b、c,,,的符號
為例4 已知a-b+c=0 9a+3b+c=0,則二次函式y=ax2+bx+c的影象的頂點可能在( )
(a) 第一或第二象限 (b)第三或第四象限 (c)第一或第四象限 (d)第二或第三象限
3.確定二次函式的解析式
例5 已知:函式的圖象如圖:那麼函式解析式為( )
(a) (b)
(c) (d)
4.一次函式影象與二次函式影象綜合考查
例6 已知一次函式y=ax+c二次函式y=ax2+bx+c(a≠0),它們在同一座標系中的大致圖象是( ).
例7 如圖:△abc是邊長為4的等邊三角形,ab在x軸上,點c在第一象限,ac與y軸交於點d,點a的座標為(-1,0)(1)求 b、c、d三點的座標;(2)拋物線經過b、c、d三點,求它的解析式;
【練習題】
一、選擇題
1. 二次函式的頂點座標是( a )
a.(2,-11b.(-2,7) c.(2,11) d. (2,-3)
2. 把拋物線向上平移1個單位,得到的拋物線是( c )
a. b. c. d.
3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的( a )
4.已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數是( b )
a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個
5.已知二次函式的頂點座標(-1,-3.2)及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是( d )
b.-2.3 c.-0.3 d.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示,則點在( )
a.第一象限 b.第二象限
c.第三象限 d.第四象限
7.方程的正根的個數為( )
a.0個b.1個c.2個3 個
8.已知拋物線過點a(2,0),b(-1,0),與軸交於點c,且oc=2.則這條拋物線的解析式為c
ab.c.或 d.或
二、填空題
9.二次函式的對稱軸是,則_______。
10.已知拋物線y=-2(x+3)+5,如果y隨x的增大而減小,那麼x的取值範圍是_______.
11.乙個函式具有下列性質:①圖象過點(-1,2),②當<0時,函式值隨自變數的增大而增大;滿足上述兩條性質的函式的解析式是只寫乙個即可)。
二次函式影象性質用用
九年級數學 二次函式的影象和性質2013 11 28 考點1 的影象五要素 例1 1 影象 二次函式y x 1 1的圖象是下圖中的 例1 2 最值 如圖所示的拋物線 當x 時,y 0 當x 2或x 0時,y 0 當x在 範圍內時,y 0 當x 時,y有最大值 例1 3 增減性 小穎在二次函式y 2x...
二次函式影象與性質完整歸納
一 二次函式的基本形式 1.二次函式基本形式 的性質 a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。2.的性質 上加下減。3.的性質 左加右減。4.的性質 二 二次函式圖象的平移 1.平移步驟 方法一 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下 2.平...
3 4二次函式的影象與性質
一 考試內容 1.理解二次函式和拋物線的有關概念,能對實際問題情境的分析確定二次函式的表示式.2.會用描點法畫出二次函式的圖象,能結合圖象認識二次函式的性質.3.會根據公式確定圖象的頂點 開口方向和對稱軸 公式不要求推導和記憶 4.能解決簡單的實際問題.5.會利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似解...