一、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2.的性質：
上加下減。
3.的性質：
左加右減。
4.的性質：
二、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
三、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
四、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
五、二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
六、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
七、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
總結： 3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
八、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
二次函式影象參考：
十一、【例題精講】
一、一元二次函式的圖象的畫法
【例1】求作函式的圖象
【解】以為中間值，取的一些值，列表如下：
【例2】求作函式的圖象。
【解】先畫出圖角在對稱軸的右邊部分，列表
【點評】畫二次函式圖象步驟：
(1)配方； (2)列表；
(3)描點成圖； 也可利用圖象的對稱性，先畫出函式的左（右）邊部分圖象，再利用對稱性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函式性質
【例3】求函式的最小值及圖象的對稱軸和頂點座標，並求它的單調區間。
【解】由配方結果可知：頂點座標為，對稱軸為；
當時，函式在區間上是減函式，在區間上是增函式。
【例4】求函式圖象的頂點座標、對稱軸、最值。
，∴函式圖象的頂點座標為，對稱軸為
當時，函式取得最大值
函式在區間上是增函式，在區間上是減函式。
【點評】要研究二次函式頂點、對稱軸、最值、單調區間等性質時，方法有兩個：
(1) 配方法；如例3
(2) 公式法：適用於不容易配方題目(二次項係數為負數或分數)如例4，可避免出錯。
任何乙個函式都可配方成如下形式：
【二次函式題型總結】
1.關於二次函式的概念
例1 如果函式是二次函式，那麼m的值為
例2 拋物線的開口方向是對稱軸是 ；頂點為 。
2.關於二次函式的性質及圖象
例3 函式的圖象如圖所示，
則a、b、c，，，的符號
為例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,則二次函式y=ax2＋bx＋c的影象的頂點可能在（ ）
（a） 第一或第二象限 （b）第三或第四象限 （c）第一或第四象限 （d）第二或第三象限
3.確定二次函式的解析式
例5 已知：函式的圖象如圖：那麼函式解析式為（ ）
（a） （b）
（c） （d）
4.一次函式影象與二次函式影象綜合考查
例6 已知一次函式y=ax+c二次函式y=ax2+bx+c(a≠0),它們在同一座標系中的大致圖象是( ).
例7 如圖：△abc是邊長為4的等邊三角形，ab在x軸上，點c在第一象限，ac與y軸交於點d，點a的座標為（-1，0）（1）求 b、c、d三點的座標；（2）拋物線經過b、c、d三點，求它的解析式；
【練習題】
一、選擇題
1. 二次函式的頂點座標是( )
a.(2,－11b.（－2，7） c.（2，11） d. （2，－3）
2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）
a. b. c. d.
3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的( )
4.已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數是( )
a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個
5.已知二次函式的頂點座標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是（ ）
b.-2.3 c.-0.3 d.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
7.方程的正根的個數為（ ）
a.0個b.1個c.2個3 個
8.已知拋物線過點a(2,0),b(-1,0),與軸交於點c,且oc=2.則這條拋物線的解析式為
ab.c.或 d.或
二、填空題
9．二次函式的對稱軸是，則_______。
10．已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那麼x的取值範圍是_______.
11．乙個函式具有下列性質：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函式值隨自變數的增大而增大；滿足上述兩條性質的函式的解析式是只寫乙個即可）。
二次函式影象性質用用
九年級數學 二次函式的影象和性質2013 11 28 考點1 的影象五要素 例1 1 影象 二次函式y x 1 1的圖象是下圖中的 例1 2 最值 如圖所示的拋物線 當x 時，y 0 當x 2或x 0時，y 0 當x在 範圍內時，y 0 當x 時，y有最大值 例1 3 增減性 小穎在二次函式y 2x...
3 4二次函式的影象與性質
一 考試內容 1.理解二次函式和拋物線的有關概念，能對實際問題情境的分析確定二次函式的表示式.2.會用描點法畫出二次函式的圖象，能結合圖象認識二次函式的性質.3.會根據公式確定圖象的頂點 開口方向和對稱軸 公式不要求推導和記憶 4.能解決簡單的實際問題.5.會利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似解...
二次函式訓練題 影象與性質
姓名二次函式訓練題 影象與性質12.25 一 選擇題 1 拋物線的對稱軸是 a 直線 b 直線 c 直線 d 直線 2 在同一座標系中，拋物線，的共同特點是 a 關於軸對稱，開口向上 b 關於軸對稱，隨的增大而增大 c 關於軸對稱，隨的增大而減小 d 關於軸對稱，頂點是原點 3 把拋物線先向上平移2...