曲線和方程
一、基礎知識
1.曲線的方程與方程的曲線的定義
2.求簡單的曲線方程的一般步驟：
（1）建立適當的座標系，用有序實數對表示曲線上任意一點m的座標；
（2）寫出適合條件p的點m的集合；
（3）用座標表示條件p（m），列出方程;
（4）化方程為最簡形式；
（5）證明以化簡後的方程的解為座標的點都是曲線上的點
二、例題講解
例1 .畫出下列方程表示的圖形
34.5. 例2.動點p（x，y）到定點a（3，4）的距離比p到x軸的距離多乙個單位長，求動點p的軌跡方程。
例3. 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每乙個點到a（0，2）的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程
例4. 在△abc中，已知頂點a(1，1)，b(3，6)且△abc的面積等於3，求頂點的軌跡方程
解：設頂點的座標為,作h⊥ab於h，則動點c屬於集合p=｛｜｝，
∵∴直線ab的方程是,即. ∴｜ｃｈ｜＝
化簡，得｜-3｜=6,即-9=0或+3=0,這就是所求頂點的軌跡方程.
例5. 已知△abc，，第三個頂點在曲線上移動，求△abc的重心的軌跡方程
例6．過m(1，3)作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1與x軸交於a點，l2與y軸交於b點，求線段ab中點的軌跡．.
例7. 已知定點a（4，0）和圓上的動點b，點p分ab之比為2∶1，求點p的軌跡方程
分析：設點p，b，由=2，找出與的關係
利用已知曲線方程消去，得到的關係 (這種方法叫相關點法)
解：設動點p及圓上點b
∵λ==2,
代入圓的方程，得
即∴所求軌跡方程為：
例8.過點p(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸於a，交軸於b，求線段ab中點m的軌跡方程
解法一：設m為所求軌跡上任一點，∵m為ab中點，∴a（2,0),b(0,2),
∵⊥且,過點p（2，4），∴pa⊥pb ∴∵= (x≠1), =∴·=-1 即 +2-5=0(≠1)
當=1時，a（2，0）、b（0，4）,此時ab中點m的座標為（1，2），它也滿足方程+2-5=0.
∴所求點m的軌跡方程為+2-5=0
解法二：鏈結pm.
設m,則a（2,0),b(0,2)∵⊥,∴△pab為直角三角形
∴｜pm｜=｜ab｜即化簡： +2-5=0∴所求點m的軌跡方程為+2-5=0.
三、課後作業
1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的圖形是( )
a．圓 b．兩條直線
c．乙個點 d．兩個點
解析：由已知得即
所以方程表示點(2，－2)．答案：c
2．已知直線l：x＋y－3＝0和曲線c：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點m(2,1)滿足( )
a．在直線l上，但不在曲線c上
b．既在直線l上，也在曲線c上
c．既不在直線l上，也不在曲線c上
d．不在直線l上，但在曲線c上
解析：把m的座標代入直線方程和曲線方程驗證即可．答案：b
3．方程＝表示的曲線是( )
a．兩條線段 b．兩條直線
c．兩條射線 d．一條射線和一條線段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)．答案：a
4．以(5,0)和(0,5)為端點的線段的方程是( )
a．x＋y＝5 b．x＋y＝5(x≥0)
c．x＋y＝5(y≥0) d．x＋y＝5(0≤x≤5)
答案：d
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲線是圖中的( )
解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四種情形去絕對值號，即可作出判斷．
答案：d
6．若曲線y＝x2－x＋2與直線y＝x＋m有兩個交點，則( )
a．m∈r b．m∈(－∞，1)
c．m＝1 d．m∈(1，＋∞)
解析：聯立y＝x2－x＋2與y＝x＋m得x2－2x＋2－m＝0.由δ＝4－4(2－m)>0，得m>1.
答案：d
7．若點m到兩座標軸的距離的積為2008，則點m的軌跡方程是( )
a．xy＝2008 b．xy＝－2008
c．xy＝±2008 d．xy＝±2008(x>0)
答案：c
8．已知點o(0,0)，a(1，－2)，動點p滿足|pa|＝3|po|，則點p的軌跡方程是( )
a．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
b．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
c．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
d．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：設p點的座標為(x，y)，則＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：a
9．已知m(－2,0)，n(2,0)，則以mn為斜邊的直角三角形的直角頂點p的軌跡方程是( )
a．x2＋y2＝2 b．x2＋y2＝4
c．x2＋y2＝2(x≠±2) d．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：設p(x，y)，因為△mpn為直角三角形，∴mp2＋np2＝mn2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得：x2＋y2＝4.
∵m、n、p不共線，∴x≠±2，
∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：d
10．已知a、b兩點的座標分別為(0，－5)和(0,5)，直線ma與mb的斜率之積為－，則m的軌跡方程是( )
a.＋＝1 b.＋＝1(x≠±5)
c.＋＝1 d.＋＝1(x≠0)
解析：設m的座標為(x，y)，則kma＝，kmb＝.由題知·＝－(x≠0)，
即＋＝1(x≠0)．答案：d
11．一條線段的長等於10，兩端點a、b分別在x軸和y軸上滑動，m**段ab上且＝4，則點m的軌跡方程是( )
a．x2＋16y2＝64 b．16x2＋y2＝64
c．x2＋16y2＝8 d．16x2＋y2＝8
解析：設m(x，y)、a(a,0)、b(0，b)，
則a2＋b2＝100.∵＝4，
∴即代入a2＋b2＝100，得25x2＋y2＝100，即16x2＋y2＝64.
答案：b
12．平面上有三點a(－2，y)，b(0，)，c(x，y)，若⊥，則動點c的軌跡方程是( )
a．y2＝8x b．y2＝－8x
c．y2＝4x d．y2＝－4x
解析：∵a(－2，y)，b(0，)，c(x，y)
∴＝(2，－)，＝(x，)．
∵⊥，∴·＝0.
得2·x－·＝0得y2＝8x.
答案：a
13．若p(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為________．
解析：由22－a(－3)2＝1，得a＝.答案：
14．方程x2－y2＝0表示的圖形是________．
解析：由x2－y2＝0得y＝±x，所以方程x2－y2＝0表示的圖形是兩條直線．答案：兩條直線
15．曲線y＝|x|－1與x軸圍成的圖形的面積是________．
解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲線y＝|x|－1與x軸圍成的圖形的面積為×2×1＝1.答案：1
16．圓心為(1,2)且與直線5x－12y－7＝0相切的圓的方程是________．
解析：圓心到直線的距離等於半徑，則
r＝＝＝2，
∴圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－2)2＝4
17．已知點a(－a,0)、b(a,0)，a>0，若動點m與兩定點a、b構成直角三角形，則直角頂點m的軌跡方程是________．
解析：設點m的座標為(x，y)．由am⊥bm，得kam·kbm＝－1，即·＝－1，
化簡得x2＋y2＝a2.因為m、a、b三點不共線，點m的縱座標y≠0，
從而x≠±a，所以所求軌跡方程為x2＋y2＝a2(x≠±a)．答案：x2＋y2＝a2(x≠±a)
18．已知直線l：2x＋4y＋3＝0，p為l上的動點，o為座標原點，點q分線段op為1∶2兩部分，則點q的軌跡方程為
解析：設點q的座標為(x，y)，點p的座標為(x1，y1)．∵q分線段op為1∶2，∴＝.
∴即∵點p在直線l上，∴2x1＋4y1＋3＝0.把x1＝3x，y1＝3y代入上式並化簡，得2x＋4y＋1＝0為所求軌跡方程．答案：2x＋4y＋1＝0
19．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判斷p(1，－2)，q(，3)兩點是否在此方程表示的曲線上；
(2)若點m在此方程表示的曲線上，求m的值．
解：(1)因為12＋(－2－1)2＝10，而()2＋(3－1)2≠10.所以點p(1，－2)在方程表示的曲線上，點q(，3)不在方程表示的曲線上．
(2)因為點m(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，所以2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.
20．求曲線x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0與x軸的交點座標．
解：在方程x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，得x2－3x－4＝0，x＝4或x＝－1.
∴曲線與x軸的交點為(4,0)和(－1,0)．
21．求證：對任意m∈r，曲線mx－y－m＋1＝0和曲線(x－2)2＋y2＝4恒有交點．
證明：聯立方程
由①得y＝mx－m＋1.
代入②得，(x－2)2＋[mx－(m－1)]2＝4，
∴(m2＋1)x2－[2m(m－1)＋4]x＋(m－1)2＝0，
δ＝4(m2－m＋2)2－4(m2＋1)(m－1)2＝4(3m2－2m＋3)＝4[3(m－)2＋]>0，對任意m∈r成立，所以兩曲線對任意m∈r恒有交點．
22．已知點m到點f(0,1)和直線l：y＝－1的距離相等，求點m的軌跡方程．
解：設點m的座標為(x，y)，點m的軌跡就是集合p＝，其中q是點m到直線y＝－1的垂線的垂足．由兩點間距離公式及點到直線的距離公式，得＝|y＋1|，將上式兩邊平方，得x2＋(y－1)2＝(y＋1)2，化簡，得y＝x2.①下面證明方程①是所求軌跡的方程．
直線與方程 含答案
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圓錐曲線與方程複習與小結
期末專題 二 圓錐曲線與方程小結與複習 學案 題型歸類 題型一 圓錐曲線定義的應用 例1已知拋物線，過焦點的弦為，且 8，求中點的橫座標.變式練習1 已知點,動點滿足,當點的縱座標是時，點到座標原點的距離是 題型二 求動點的軌跡方程 例2在中，已知,當動點滿足條件時，求動點的軌跡方程.變式練習2 c...
圓錐曲線知識點例題練習含答案整理
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