宜州一中2015屆高二數學選修2-1複習小結
內容：圓錐曲線與方程編撰：宜州一中高二數學備課組（ log）
一、【本章知識結構框圖】
二、【本章知識與方法導析】
（一）、根據本章知識框圖構建立體幾何知識系統
1.曲線與方程
（1）概念：
（2）軌跡與軌跡方程的區別：
2．熟練掌握求軌跡方程的常見方法
試說明以下幾種方法的用法及適用題型
（1）五步法（直譯法）求軌跡方程，你能說出是哪五步嗎？
（2）待定係數法
（3）相關點法（代入法）
（4）定義法
（5）引數法
3．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單性質
4.直線與圓錐曲線的位置關係
（1）判斷方法
代數方法
幾何方法
（2）弦長的求法（弦長公式）
5．體會本章蘊含的解析思想
（1）座標法——研究幾何問題的有力工具
幾何圖形（定量）——建立座標系（定位）——用座標運算研究幾何性質，這是本章研究圓錐曲線的基本思路，也是座標法用法的具體體現.
（2）數形結合思想
圓錐曲線與方程，乙個是幾何圖形，乙個是代數方程，座標法建立起了它們的關係，必然在研究過程中，數與形的結合是非常重要的手段，也是解決問題的重要途徑.
（3）「設而不求」思想
研究直線與圓錐曲線位置關係，用韋達定理「設而不求」，能簡化運算.
（4）「形散神聚」 ——圓錐曲線的統一
橢圓、雙曲線、拋物線是三種外型上差異很大的幾何圖形，本質上卻有統一的背景和定義——都是平面截圓錐得到的截口曲線；都是平面內到一定點的距離和到一條定直線（不經過定點）距離的比值是乙個常數的點的軌跡，比值不同就形成了不同的曲線.
6.需要注意的問題
（1）研究圓錐曲線，注意「位」和「量」兩個方面，比如求標準方程，除需要基本量之外，還要注意焦點的位置；
（2）解決直線與圓錐曲線的交點問題時，用代數方法注意對消元後一元二次方程二次項係數是否為0的討論；用數形結合法時注意特殊情況，如與雙曲線漸近線平行，與拋物線對稱軸平行等特殊情況；
（3）運用定義的意識，回歸定義是一種重要的解題策略，如：求軌跡時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則可根據圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；涉及橢圓、雙曲線上的點與焦點構成的三角形問題時，常用定義結合解三角形的知識來解決；求有關拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合幾何圖形利用幾何意義去解決.
三、【重難點突破】
1.軌跡問題
【例1】已知橢圓的左、右焦點分別是f1（－c，0）、f2（c，0），q是橢圓外的動點，滿足點p是線段f1q與該橢圓的交點，點t**段f2q上，並且滿足求點t的軌跡c的方程.
【評析】（1）法一是直譯法，法二是相關點法，注意掌握求軌跡方程的常見方法；
（2）注意軌跡與軌跡方程的區別，在回答軌跡是什麼圖形時，注意對圖形定位和定量兩個方面的描述.
【變式1】已知是圓為圓心）
上一動點，線段ab的垂直平分線交bf於p，則動點p的軌跡
方程為2.圓錐曲線的定義及標準方程
【例2】中，固定底邊bc，讓頂點a移動，已知，且，求頂點a的軌跡方程．
【評析】（1）本題用定義法求軌跡方程，最後乙個環節「查漏補缺」是畫龍點睛之筆，注意的範圍限制；
（2）熟練掌握三種圓錐曲線的定義，加強應用意識.一般說來，涉及到曲線上的點與焦點（定點）的距離，很有可能使用定義；
（3）注意圓錐曲線的第二定義，它能很好的將曲線上點到焦點的距離與到相應準線的距離進行轉化，達到簡化運算的目的.焦半徑公式，會推導即可，不必死記硬背.
【變式2】（複習參考題b組第2題）如圖，從橢圓上一點p向x軸作垂線，垂足恰為左焦點f1，又點a是橢圓與x軸正半軸的交點，點b是橢圓與y軸正半軸的交點，且ab//op，，求橢圓的方程.
3.焦點三角形問題
【例3】已知雙曲線的焦點在軸上，離心率為2，為左右焦點， p是雙曲線上一點，且，求雙曲線的標準方程.
【評析】（1）由兩焦點和曲線上一點形成，我們把這種三角形叫焦點三角形. 焦點三角形問題的主要型別有：周長、面積、角度等，通常會用到圓錐曲線的定義、正弦定理、餘弦定理、面積公式等.
（2）焦點三角形的面積主要有兩種求法：；
（3）涉及到焦點、頂點、曲線上點（頂點以外）等問題，抓住幾個特徵三角形，舉一反三.這是乙個考察重點，容易出現離心率的值（或範圍）的運算.
【變式3】（複習參考題b組第1題）已知點p是橢圓上一點，且在軸上方，f1，f2分別是橢圓的左、右焦點，直線pf2的斜率為，求的面積.
4.圓錐曲線的簡單性質
【例4】已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為，離心率．
（ⅰ）求該雙曲線的方程；
（ⅱ）如圖，點的座標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，並求此時點的座標.
【評析】（1）熟練掌握圓錐曲線的簡單性質，掌握研究性質過程中的數形結合思想；
（2）提高運算能力，是圓錐曲線學習的另外乙個目的，注意自己梳理彙總常見演算法，包括聯立化簡、複雜根式化簡等.
【變式4】設橢圓c：的左焦點為f，上頂點為a，過點a作垂直於af的直線交橢圓c於另外一點p，交x軸正半軸於點q，
且（1）求橢圓c的離心率；
（2）若過a、q、f三點的圓恰好與直線： 相切，求橢圓c的方程.
5.直線與圓錐曲線的位置關係
【例5 】 經過點且與雙曲線僅交於一點的直線有（ ）
a.4條 b.3條 c.2條 d.1條
【評析】（1）解決直線與圓錐曲線的交點問題的方法：一是判別式法；二是幾何法；
（2）直線與圓錐曲線有唯一交點，不等價於直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行於對稱軸（拋物線）或平行於漸近線（雙曲線）；
（3）聯立方程組、消元後得到一元二次方程，不但要對進行討論，還要對二次項係數是否為0進行討論；
（4）若p在雙曲線內部（含焦點的區域）時，過p只能作兩條直線與雙曲線僅有乙個交點，它們分別與漸近線平行；
若p在雙曲線上時，過p能作3條直線與雙曲線僅有乙個交點，它們是1條切線，2條與漸近線平行；
若p在雙曲線外部（不含焦點的區域），且不在漸近線上時，過p能作4條直線與雙曲線僅有乙個交點，它們是2條切線，2條與漸近線平行；
若p在雙曲線的漸近線上且不為原點時，過p能作2條直線與雙曲線僅有乙個交點，它們是1條切線，1條與漸近線平行；
若p為原點時，不能作與雙曲線僅有乙個交點的直線.
【變式5】設拋物線的準線與軸交於點q，若過點q的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值範圍是
ab．[－2，2] c．[－1，1] d．[－4，4]
6.中點弦問題
【例6】已知雙曲線方程。(1) 求以a(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程；
(2) 過點b(1,1)能否作直線，使與所給雙曲線交於q1、q2兩點，且點b是弦q1q2的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．
【評析】（1）通過將弦端點的座標代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點相減．這裡，代點相減後，適當變形，出現弦的斜率和中點座標，是實現設而不求（即點差法）的關鍵．兩種解法都要用到「設而不求」，它對簡化運算的作用明顯，用「點差法」解決弦中點問題更簡潔.
（2）實際上，若給的定點p在橢圓內或拋物線內、雙曲線內（含焦點的區域），則，即一定存在以p為中點的弦；若定點p在雙曲線外，則有可能不存在以p為中點的弦.
【變式6】在拋物線上恒有兩點關於直線對稱，求的取值範圍．
7.求範圍問題
【例7】已知橢圓與直線相交於兩點a、b．當橢圓的離心率滿足，且（為座標原點）時，求橢圓長軸長的取值範圍．
【評析】求範圍和最值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特徵及意義，考慮幾何性質解決問題
代數方法：建立目標函式，再求目標函式的最值．
圓錐曲線與方程複習與小結
期末專題 二 圓錐曲線與方程小結與複習 學案 題型歸類 題型一 圓錐曲線定義的應用 例1已知拋物線，過焦點的弦為，且 8，求中點的橫座標.變式練習1 已知點,動點滿足,當點的縱座標是時，點到座標原點的距離是 題型二 求動點的軌跡方程 例2在中，已知,當動點滿足條件時，求動點的軌跡方程.變式練習2 c...
圓錐曲線複習與小結 2
教學目標 1.使學生掌握點 直線與圓錐曲線的位置的判定及直線與圓錐曲線相交的有關問題 2.培養學生綜合運用直線 圓錐曲線的各方面知識的能力 教學重點 直線與圓錐曲線的相交的有關問題 教學難點 圓錐曲線上存在關於直線對稱的兩點，求引數的取值範圍 教學過程 一 點 直線與圓錐曲線的位置關係 1 點p x...
圓錐曲線大題難
1.本題滿分14分 已知點為雙曲線 為正常數 上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連線並延長交軸於 1 求線段的中點的軌跡的方程 2 設軌跡與軸交於兩點,在上任取一點,直線分別交軸於兩點.求證 以為直徑的圓過兩定點.1 由已知得,則直線的方程為 令得,即,設,則,即代入得 即的軌跡...