1. （本題滿分14分) 已知點為雙曲線（為正常數）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連線並延長交軸於
(1) 求線段的中點的軌跡的方程;
(2) 設軌跡與軸交於兩點,在上任取一點,直線分別交軸於兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.
(1) 由已知得,則直線的方程為:,
令得,即,
設,則,即代入得:,
即的軌跡的方程為
(2) 在中令得,則不妨設,
於是直線的方程為:,直線的方程為:,
則,則以為直徑的圓的方程為: ,
令得:,而在上,則,
於是,即以為直徑的圓過兩定點.
2．（本小題滿分14分）已知直線與橢圓相交於、兩點，是線段上的一點，，且點m在直線上，（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦點關於直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.
（本小題主要考查直線與橢圓的位置關係、對稱問題等知識，考查數形結合、化歸與轉化、函式與方程的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設、兩點的座標分別為
（ i）由知是的中點1分
由得： …………………4分
…………5分
點的座標為
又點在直線上6分
7分（ii）由（1）知，不妨設橢圓的乙個焦點座標為，
設關於直線的對稱點為，………………8分
則有解得11分
由已知，
， . ………13分
所求的橢圓的方程為14分
3．（本題滿分14分）
已知拋物線x2＝4y的焦點為f，a、b是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過a、b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為ｍ．
（ⅰ）證明·為定值；
（ⅱ）設△abm的面積為s，並求s的最小值．
本題滿分14分）
解：(ⅰ)由已知條件，得f(0，1)，λ＞0．
設a(x1，y1)，b(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
2分將①式兩邊平方並把y1＝x12，y2＝x22代入得
y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－44分
拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x．
所以過拋物線上a、b兩點的切線方程分別是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出兩條切線的交點m的座標為(，)＝(，－1)． 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以·為定值，其值為07分）
(ⅱ)由(ⅰ)知在△abm中，fm⊥ab，因而s＝|ab||fm|．
|fm|＝＝
＝＝＝＋．
因為|af|、|bf|分別等於a、b到拋物線準線y＝－1的距離，所以
|ab|＝|af|＋|bf|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
於是 s＝|ab||fm|＝(＋)3，
由＋≥2知s≥4，且當λ＝1時，s取得最小值4． ………（14分）
4（本小題滿分14分）
已知定圓圓心為a，動圓m過點，且和圓a相切，動圓的圓心m的軌跡記為c．
(ⅰ)求曲線c的方程；
(ⅱ)若點為曲線c上一點，**直線與曲線c是否存在交點? 若存在則求出交點座標, 若不存在請說明理由．
解：(ⅰ) 圓a的圓心為1 分
設動圓m的圓心為 ………… 2分
由|ab|=，可知點b在圓a內，從而圓m內切於圓a，故|ma|=r1-r2，
即|ma|+|mb|=44分
所以，點m的軌跡是以a，b為焦點的橢圓，設橢圓方程為，
由故曲線c的方程為6分
(ⅱ)當，
………………8分
消去10分
由點為曲線c上一點，
於是方程①可以化簡為解得12分
13分綜上，直線l與曲線c存在唯一的乙個交點，交點為14分
5.（本小題滿分14分）
已知直線上有乙個動點,過點作直線垂直於軸,動點在上,且滿足
(為座標原點),記點的軌跡為.
(1) 求曲線的方程；
(2) 若直線是曲線的一條切線, 當點到直線的距離最短時,求直線的方程.
(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、點到直線的距離、曲線的切線等知識, 考查數形結合、化歸與轉化、函式與方程的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識)
(1) 解:設點的座標為,則點的座標為.
∵,當時,得,化簡得2分
當時, 、、三點共線，不符合題意，故.
∴曲線的方程為4分
(2) 解法1:∵ 直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.
設直線的方程為5分
由得.∵ 直線與曲線相切,
∴,即6分
點到直線的距離7分
8分9分
10分當且僅當，即時，等號成立.此時. ……12分
∴直線的方程為或14分
解法2：由，得5分
∵直線與曲線相切, 設切點的座標為，其中，
則直線的方程為：，化簡得. …… 6分
點到直線的距離7分
8分9分
10分當且僅當，即時，等號成立12分
∴直線的方程為或14分
解法3：由，得5分
∵直線與曲線相切, 設切點的座標為，其中，
則直線的方程為：，化簡得6分
點到直線的距離7分
8分9分
10分當且僅當，即時，等號成立,此時. ……12分
∴直線的方程為或14分
6、（滿分14分）.已知圓與直線相切。
（1）求以圓o與y軸的交點為頂點，直線在x軸上的截距為半長軸長的橢圓c方程;
（2）已知點a，若直線與橢圓c有兩個不同的交點e,f，且直線ae的斜率與直線af的斜率互為相反數;問直線的斜率是否為定值？若是求出這個定值;若不是，請說明理由.
解：(1) 因為直線在x軸上的截距為2，所以2分
直線的方程變為，由直線與圓相切得 …… 4分
所以橢圓方程為5分
(2)設直線ae方程為6分
代入得：…… 8分
設e,f，因為點a在橢圓上，
所以10分
又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數，
同理可得12分
所以直線ef的斜率為14分
7. （本小題滿分14分）
設直線與橢圓相交於a、b兩個不同的點，與x軸相交於點c，記o為座標原點.
（i）證明：；
（ii）若的面積取得最大值時的橢圓方程.
（i）解：依題意，直線l顯然不平行於座標軸，故
將，得3分
由直線l與橢圓相交於兩個不同的點，得
，即5分
（ii）解：設由①，得
因為，代入上式，得 ……………8分
於是，△oab的面積
11分其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
由 將這兩組值分別代入①，均可解出
所以，△oab的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
8．（本小題滿分14分）
已知拋物線：和點，若拋物線上存在不同兩點、滿足．
圓錐曲線大題
1.南通2011一模 如圖，已知橢圓的左 右頂點分別為a，b，右焦點為f，直線l為橢圓的右準線，n為l上一動點，且在x軸上方，直線an與橢圓交於點m 1 若am mn，求 amb的余弦值 2 設過a，f，n三點的圓與y軸交於p，q兩點，當 線段pq的中點座標為 0，9 時，求這個圓的方程 2.南通，...
圓錐曲線大題
設與分別是橢圓的左右頂點與上定點，直線與圓相切。1 求證 2 是橢圓上異於的一點，直線的斜率之積為，求橢圓的方程 如圖，已知橢圓，左 右焦點分別為，右頂點為a，上頂點為b,p為橢圓上在第一象限內一點 1 若,求橢圓的離心率 2 若，求直線的斜率 如圖，正方形abcd內接於橢圓，且它的四條邊與座標軸平...
圓錐曲線大題練習
1.已知動直線與橢圓c 交於p q兩不同點，且 opq的面積 其中o為座標原點.證明和均為定值 設線段pq的中點為m，求的最大值 橢圓c上是否存在點d,e,g，使得?若存在，判斷 deg的形狀 若不存在，請說明理由.2.如圖，已知橢圓c1的中心在原點o，長軸左 右端點m，n在x軸上，橢圓c2的短軸為...