1．在平面直角座標系中，f是橢圓的右焦點，已知點（0，－2）與橢圓左頂點關於直線對稱，且直線af的斜率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點q（－1，0）的直線l交橢圓於m，n兩點，交直線＝－4於點e，，證明：為定值．
2已知定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為。
（1）求軌跡的方程；
（2）設點，，在上運動，與關於原點對稱，且，當的面積最小時，求直線的方程。
3.已知，分別是橢圓：的兩個焦點，是橢圓上一點，且，，成等差數列．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知動直線過點，且與橢圓交於兩點，試問軸上是否存在定點，使得恆成立？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
（2）假設在軸上存在點，使得恆成立．
①當直線的斜率不存在時，，，
由於（，解得或；
4.已知定點c(－1，0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點c的動直線與橢圓相交於a，b兩點．
（1）若線段ab中點的橫座標是－，求直線ab的方程；
（2）在x軸上是否存在點m，使為常數？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
解：（1）依題意，直線ab的斜率存在，設直線ab的方程為y＝k(x＋1)，
將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
則由線段ab中點的橫座標是，得，解得都滿足
所以直線ab的方程為或
（2）假設在x軸上存在點m（m，0），使為常數．
（ⅰ）當直線ab與x軸不垂直時，由（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝． ③
所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2．
將③代入，整理得＝＋m2
＝＝m2＋2m－－．
注意到是與k無關的常數，從而有6m+14=0，此時，此時．
（ⅱ）當直線ab與x軸垂直時，此時點a、b的座標分別為(，)、(，)，
當時，也有．綜上，在x軸上存在定點使為常數．
5設橢圓c： (a>b>0)的乙個頂點與拋物線c：x2＝4y的焦點重合，f1，f2分別是橢圓的左、右焦點，且離心率e＝，過橢圓右焦點f2的直線l與橢圓c交於m，n兩點．
（1）求橢圓c的方程；
（2）若·＝－2，求直線l的方程；
（3）若ab是橢圓c經過原點o的弦，mn∥ab，求證：為定值．
(1)解由題意知，橢圓的乙個頂點為(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，
∴橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)解由題意可知，直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意．
②當斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，且m(x1，y1)，n(x2，y2)．
由，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝＋k2(－＋1)＝＝－2，
解得k＝±，故直線l的方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)，
即x－y－＝0或x＋y－＝0．
(3)證明設m(x1，y1)，n(x2，y2)，a(x3，y3)，b(x4，y4)，由(2)可得
|mn|＝|x1－x2|＝＝＝，
由, 消去y並整理得x2＝，
|ab|＝|x3－x4|＝4，∴＝＝4，為定值．
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