1.已知動直線與橢圓c: 交於p、q兩不同點，且△opq的面積=,其中o為座標原點.
（ⅰ）證明和均為定值;
（ⅱ）設線段pq的中點為m，求的最大值；
（ⅲ）橢圓c上是否存在點d,e,g，使得?若存在，判斷△deg的形狀；若不存在，請說明理由.
2.如圖，已知橢圓c1的中心在原點o，長軸左、右端點m，n在x軸上，橢圓c2的短軸為mn，且c1，c2的離心率都為e，直線l⊥mn，l與c1交於兩點，與c2交於兩點，這四點按縱座標從大到小依次為a，b，c，d.
（i）設，求與的比值；
（ii）當e變化時，是否存在直線l，使得bo∥an，並說明理由
3.設，點的座標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經過點與軸垂直的直線交拋物線於點，點滿足,求點的軌跡方程。
4.在平面直角座標系xoy中，已知點a(0,-1)，b點在直線y = -3上，m點滿足mb//oa， maab = mbba，m點的軌跡為曲線c。
（ⅰ）求c的方程；
（ⅱ）p為c上的動點，l為c在p點處得切線，求o點到l距離的最小值。
5.在平面直角座標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．
（ⅰ）求橢圓的離心率；
（ⅱ）設直線與橢圓相交於兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．
6.已知拋物線:，圓:的圓心為點m
（ⅰ）求點m到拋物線的準線的距離；
（ⅱ）已知點p是拋物線上一點（異於原點），過點p作圓的兩條切線，交拋物線於a，b兩點，若過m，p兩點的直線垂直於ab，求直線的方程
7.如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線
截得的線段長等於的長半軸長.
求，的方程；
設與軸的交點為，過座標原點的直線與相交於點，，直線，分別與相交於點，.
(ⅰ)證明： ;
(ⅱ)記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請說明理由.
1.已知動直線與橢圓c: 交於p、q兩不同點，且△opq的面積=,其中o為座標原點.
（ⅰ）證明和均為定值;
（ⅱ）設線段pq的中點為m，求的最大值；
（ⅲ）橢圓c上是否存在點d,e,g，使得?若存在，判斷△deg的形狀；若不存在，請說明理由.
【解析】（i）解：（1）當直線的斜率不存在時，p，q兩點關於x軸對稱，
所以因為在橢圓上，因此 ①
又因為所以②；由①、②得
此時 （2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由題意知m，將其代入，得，
其中即又
所以因為點o到直線的距離為所以
，又整理得且符合（*）式，
此時綜上所述，結論成立。
（ii）解法一：
（1）當直線的斜率存在時，由（i）知
因此 （2）當直線的斜率存在時，由（i）知
所以所以，當且僅當時，等號成立.
綜合（1）（2）得|om|·|pq|的最大值為
解法二：因為
所以即當且僅當時等號成立。
因此 |om|·|pq|的最大值為
（iii）橢圓c上不存在三點d，e，g，使得
證明：假設存在，
由（i）得
因此d，e，g只能在這四點中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，
所以橢圓c上不存在滿足條件的三點d，e，g.
2.如圖，已知橢圓c1的中心在原點o，長軸左、右端點m，n在x軸上，橢圓c2的短軸為mn，且c1，c2的離心率都為e，直線l⊥mn，l與c1交於兩點，與c2交於兩點，這四點按縱座標從大到小依次為a，b，c，d.
（i）設，求與的比值；
（ii）當e變化時，是否存在直線l，使得bo∥an，並說明理由
解：（i）因為c1，c2的離心率相同，故依題意可設
設直線，分別與c1，c2的方程聯立，求得
………………4分
當表示a，b的縱座標，可知
………………6分
（ii）t=0時的l不符合題意.時，bo//an當且僅當bo的斜率kbo與an的斜率kan相等，即
解得因為
所以當時，不存在直線l，使得bo//an；
當時，存在直線l使得bo//an.
3.設，點的座標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經過點與軸垂直的直線交拋物線於點，點滿足,求點的軌跡方程。
【命題意圖】：本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質與運算，動點軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識**問題和解決問題的能力，全面考核綜合數學素養。
【解析】：由知q,m,p三點在同一條垂直於x軸的直線上，故可設，，，則，即
再設,由，即，解得
將①代入②式，消去得
又點b在拋物線上，所以，再將③式代入得
，即，即
，因為，等式兩邊同時約去得
這就是所求的點的軌跡方程。
【解題指導】：向量與解析幾何相結合時，關鍵是找到表示向量的各點座標，然後利用相關點代入法或根與係數關係解決問題，此外解析幾何中的代數式計算量都是很大的，計算時應細緻加耐心。
4.在平面直角座標系xoy中，已知點a(0,-1)，b點在直線y = -3上，m點滿足mb//oa， maab = mbba，m點的軌跡為曲線c。
（ⅰ）求c的方程；
（ⅱ）p為c上的動點，l為c在p點處得切線，求o點到l距離的最小值。
解析; (ⅰ)設m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由題意可知（+）=0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲線c的方程式為y=x-2.
(ⅱ)設p(x,y)為曲線c：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x
因此直線的方程為，即。
則o點到的距離.又，所以
當=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.
點評：此題考查曲線方程的求法、直線方程、點到直線的距離、用不等式求最值以及導數的應用等。要把握每乙個環節的關鍵。
5.在平面直角座標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．
（ⅰ）求橢圓的離心率；
（ⅱ）設直線與橢圓相交於兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．
解：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的數學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分.
（i）解：設
由題意，可得
即整理得（舍），
或所以（ⅱ）解:由（ⅰ）知,可得橢圓方程為.直線方程為
,a,b兩點的座標滿足方程組,消去y並整理,得,解得
,得方程組的解,,不妨設,,
設點的座標為,則,.由得
,於是,由，即
,化簡得,將代入
,得,所以,
因此,點的軌跡方程是.
6.已知拋物線:，圓:的圓心為點m（ⅰ）求點m到拋物線的準線的距離；
（ⅱ）已知點p是拋物線上一點（異於原點），過點p作圓的兩條切線，交拋物線於a，b兩點，若過m，p兩點的直線垂直於ab，求直線的方程
【解析】（ⅰ）由得準線方程為，由得m，點m到拋物線的準線的距離為
（ⅱ）設點 ，， 由題意得設過點的圓的切線方程為即① 則
即設，的斜率為（）則是上述方
程的兩個不相等的根，將代入①得
由於是方程的根故，所以，
，由得解得點的座標為
直線的方程為.
7.是雙曲線e：上一點，m，n分別是雙曲線e的左、右頂點，直線pm，pn的斜率之積為．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線e的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線於a，b兩點，o為座標原點，c為雙曲線上一點，滿足，求的值．
解：（1）已知雙曲線e：，在雙曲線上，m，n分別為雙曲線e的左右頂點，所以，，直線pm，pn斜率之積為
而，比較得
（2）設過右焦點且斜率為1的直線l：，交雙曲線e於a，b兩點，則不妨設，又，點c在雙曲線e上：
*（1）
又聯立直線l和雙曲線e方程消去y得：
由韋達定理得：，代入（1）式得：
8.如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線
截得的線段長等於的長半軸長.
求，的方程；
設與軸的交點為，過座標原點的直線與相交於點，，直線，分別與相交於點，.
(ⅰ)證明： ;
(ⅱ)記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請說明理由.
解：由題意知，從而，又，解得，故，的方程分別為，
（ⅰ）由題意知，直線的斜率存在，設為，則直線的方程為
由得設，，則是上述方程的兩個實根，於是
又點，所以
故即（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的座標為
又直線的斜率為 ，同理可得點b的座標為.
於是由得，
解得或，則點的座標為；
又直線的斜率為，同理可得點的座標
於是因此
由題意知，，解得或
又由點的座標可知，所以
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和
評析：本大題主要考查拋物線、橢圓的標準方程的求法以及直線與拋物線、橢圓的位置關係，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、座標化方法等.
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