圓錐曲線
橢圓20．h1，h5，h8[2013·新課標全國卷ⅱ] 平面直角座標系xoy中，過橢圓m：＋＝1(a＞b＞0)右焦點的直線x＋y－＝0交m於a，b兩點，p為ab的中點，且op的斜率為.
(1)求m的方程；
(2)c，d為m上兩點，若四邊形acbd的對角線cd⊥ab，求四邊形acbd面積的最大值．
20．解：(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，則
＋＝1，＋＝1.
＝－1.
由此可得＝－＝1.
因為x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由題意知，m的右焦點為(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以m的方程為＋＝1.
(2)由
解得或因此|ab|＝.
由題意可設直線cd的方程為y＝x＋n－設c(x3，y3)，d(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，
於是x3，4＝.
因為直線cd的斜率為1，所以|cd|＝|x4－x3|＝.
由已知，四邊形acbd的面積s＝|cd|·|ab|＝.
當n＝0時，s取得最大值，最大值為.
所以四邊形acbd面積的最大值為.
20．h3，h10，h8，h5[2013·新課標全國卷ⅰ] 已知圓m：(x＋1)2＋y2＝1，圓n：(x－1)2＋y2＝9，動圓p與圓m外切並且與圓n內切，圓心p的軌跡為曲線c.
(1)求c的方程；
(2)l是與圓p，圓m都相切的一條直線，l與曲線c交於a，b兩點，當圓p的半徑最長時，求|ab|.
20．解：由已知得圓m的圓心為m(－1，0)，半徑r1＝1；圓n的圓心為n(1，0)，半徑r2＝3.
設圓p的圓心為p(x，y)，半徑為r.
(1)因為圓p與圓m外切並且與圓n內切，所以
|pm|＋|pn|＝(r＋r1)＋(r2－r)＝r1＋r2＝4.
由橢圓的定義可知，曲線c是以m, n為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．
(2)對於曲線c上任意一點p(x，y)，由於|pm|－|pn|＝2r－2≤2，所以r≤2，
當且僅當圓p的圓心為(2，0)時，r＝2，所以當圓p的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4.
若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|ab|＝2.
若l的傾斜角不為90°，由r1≠r知l不平行於x軸，設l與x軸的交點為q，
則＝，可求得q(－4，0)，所以可設l：y＝k(x＋4)．由l與圓m相切得＝1，解得k＝±.當k＝時，將y＝x＋代入＋＝1，
並整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.
所以|ab|＝|x2－x1|＝.
當k＝－時，由圖形的對稱性可知|ab|＝.
綜上，|ab|＝2或|ab|＝.
18．h5、h8、h9[2013·安徽卷] 設橢圓e：＋＝1的焦點在x軸上．
(1)若橢圓e的焦距為1，求橢圓e的方程；
(2)設f1，f2分別是橢圓e的左、右焦點，p為橢圓e上第一象限內的點，直線f2p交y軸於點q，並且f1p⊥f1q.證明：當a變化時，點p在某定直線上．
18．解：(1)因為焦距為1，所以2a2－1＝，解得a2＝.
故橢圓e的方程為＋＝1.
(2)設p(x0，y0)，f1(－c，0)，f2(c，0)，其中c＝.由題設知x0≠c，
則直線f1p的斜率kf1p＝，
直線f2p的斜率kf2p＝，
故直線f2p的方程為y＝(x－c)．
x＝0時，y＝，即點q的座標為0，.
因此，直線f1q的斜率為kf1q＝.
由於f1p⊥f1q，所以kf1p·kf1q＝·＝－1.
化簡得y＝x－(2a2－1)．①
將①代入橢圓e的方程，由於點p(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即點p在定直線x＋y＝1上．
20.圖1－7
h5，h8[2013·江西卷] 如圖1－7所示，橢圓c：＋＝1(a>b>0)經過點p，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.
(1)求橢圓c的方程；
(2)ab是經過右焦點f的任一弦(不經過點p)，設直線ab與直線l相交於點m，記pa，pb，pm的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數λ，使得k1＋k2＝λk3？
若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
解：(1)由p在橢圓上得＋＝1，①
依題設知a＝2c，則b2＝3c2，②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故橢圓c的方程為＋＝1.
(2)方法一：由題意可設ab的斜率為k，則
直線ab的方程為y＝k(x－1)，③
代入橢圓方程3x2＋4y2＝12並整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有
x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4得，m的座標為(4，3k)．
從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－，
注意到a，f，b共線，則有k＝kaf＝kbf，即有＝＝k，所以k1＋k2＝＋＝＋－
＝2k－·，⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，故存在常數λ＝2符合題意．
方法二：設b(x0，y0)(x0≠1)，則直線fb的方程為：y＝(x－1)．
令x＝4，求得m.
從而直線pm的斜率為k3＝，
聯立得a，
則直線pa的斜率為k1＝，直線pb的斜率為k2＝，
所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，
故存在常數λ＝2符合題意．2．h5[2013·山東卷] 橢圓c：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是f1，f2，離心率為，過f1且垂直於x軸的直線被橢圓c截得的線段長為1.
(1)求橢圓c的方程；
(2)點p是橢圓c上除長軸端點外的任一點，聯結pf1，pf2，設∠f1pf2的角平分線pm交c的長軸於點m(m，0)，求m的取值範圍；
(3)在(2)的條件下，過點p作斜率為k的直線l，使得l與橢圓c有且只有乙個公共點，設直線pf1，pf2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明＋為定值，並求出這個定值．
22．解：(1)由於c2＝a2－b2，將x＝－c代入橢圓方程＋＝1，得y＝±.由題意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以橢圓c的方程為＋y2＝1.
(2)方法一：設p(x0，y0)(y0≠0)．
又f1(－，0)，f2(，0)，
所以直線pf1，pf2的方程分別為
lpf1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lpf2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由題意知＝.
由於點p在橢圓上，所以＋y＝1，
所以＝.
因為－可得＝.
所以m＝x0.
因此－方法二：
設p(x0，y0)．當0≤x0＜2時，
①當x0＝時，直線pf2的斜率不存在，易知p，或p.
若p，則直線pf1的方程為x－4 y＋＝0.
由題意得＝－m，
因為－所以m＝.
若p，同理可得m＝.
②當x0≠時，
設直線pf1，pf2的方程分別為y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)．
由題意知＝，
所以＝.
因為＋y＝1，
並且k1＝，k2＝，
所以＝＝
＝，即＝.
因為－所以＝.
整理得m＝，
故0≤m＜且m≠.
綜合①②可得0≤m＜.
當－2綜上所述，m的取值範圍是.
(3)設p(x0，y0)(y0≠0)，則直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)．
聯立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由題意δ＝0，
即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋為定值，這個定值為－8.
20．h5，h8[2013·四川卷] 已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為f1(－1，0)，f2(1，0)，且橢圓c經過點p.
(1)求橢圓c的離心率；
(2)設過點a(0，2)的直線l與橢圓c交於m，n兩點，點q是線段mn上的點，且＝＋，求點q的軌跡方程．
20．解：(1)由橢圓定義知，|pf1|＋|pf2|＝＋＝2.
所以a＝，
又由已知，c＝1，
所以橢圓c的離心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，橢圓c的方程為＋y2＝1.
設點q的座標為(x，y)．
①當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓c交於(0，1)，(0，－1)兩點，此時點q的座標為.
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2.
因為m，n在直線l上，可設點m，n的座標分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|am|2＝(1＋k2)x，|an|2＝(1＋k2)x.
又|aq|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，即＝＋＝.①
將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中並化簡，得
x2＝.③
因為點q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中並化簡，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0即x∈∪.
又滿足10(y－2)2－3x2＝18，
故點q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，
x∈.21．h4，h5[2013·浙江卷] 如圖1－5所示，點p(0，－1)是橢圓c1：＋＝1(a>b>0)的乙個頂點，c1的長軸是圓c2：
x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點p且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓c2於a，b兩點，l2交橢圓c1於另一點d.
(1)求橢圓c1的方程；
(2)求△abd面積取得最大值時直線l1的方程．
21．解：(1)由題意得
所以橢圓c的方程為＋y2＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)．由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1.
又圓c2：x2＋y2＝4，故點o到直線l1的距離d＝，
所以|ab|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.
故x0＝－，
所以|pd|＝.
設△abd的面積為s，則s＝·|ab|·|pd|＝，
所以s＝≤＝，當且僅當k＝±時取等號．
所以所求直線l1的方程為y＝±x－1.
圖1－2
9．h5，h6[2013·浙江卷] 如圖1－2，f1，f2是橢圓c1：＋y2＝1與雙曲線c2的公共焦點，a，b分別是c1，c2在第
二、四象限的公共點．若四邊形af1bf2為矩形，則c2的離心率是( )
圓錐曲線綜合練習
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圓錐曲線綜合運用
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