2009~2023年高考真題備選題庫
第8章平面解析幾何
第8節圓錐曲線的綜合問題
考點直線與圓錐曲線的位置關係
1．（2013安徽，13分）已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且過點p(，)．
(1)求橢圓c的方程；
(2)設q(x0，y0)(x0y0≠0)為橢圓c上一點．過點q作x軸的垂線，垂足為e.取點a(0,2)，連線ae.過點a作ae的垂線交x軸於點 d．點g是點d關於y軸的對稱點，作直線qg.
問這樣作出的直線qg是否與橢圓c一定有唯一的公共點？並說明理由．
解：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質，直線和橢圓的位置關係等基礎知識，考查數形結合思想、邏輯推理能力及運算求解能力．
(1)因為焦距為4，所以a2－b2＝4.又因為橢圓c過點p(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4.
從而橢圓c的方程為＋＝1.
(2)由題意，知e點座標為(x0,0)．
設d(xd,0)，則＝(x0，－2)，＝(xd，－2)．
由ad⊥ae知，·＝0，即xdx0＋8＝0.
由於x0y0≠0，故xd＝－.
因為點g是點d關於y軸的對稱點，所以點g.
故直線qg的斜率kqg＝＝.
又因q(x0，y0)在橢圓c上，所以x＋2y＝8.①
從而kqg＝－.
故直線qg的方程為y＝－.②
將②代入橢圓c方程，得
(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③
再將①代入③，化簡得
x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，y＝y0.
即直線qg與橢圓c一定有唯一的公共點．
2．（2013北京，14分）直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓w：＋y2＝1相交於a，c兩點，o是座標原點．
(1)當點b的座標為(0,1)，且四邊形oabc為菱形時，求ac的長；
(2)當點b在w上且不是w的頂點時，證明：四邊形oabc不可能為菱形．
解：本題主要考查直線與橢圓的位置關係、函式與方程的思想，意在考查考生的運算求解能力、轉化與化歸能力、數形結合能力．
(1)因為四邊形oabc為菱形，所以ac與ob相互垂直平分．
所以可設a，代入橢圓方程得＋＝1，即t＝±.
所以|ac|＝2.
(2)證明：假設四邊形oabc為菱形．
因為點b不是w的頂點，且ac⊥ob，所以k≠0.
由消去y並整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設a(x1，y1)，c(x2，y2)，則
＝－，＝k·＋m＝.
所以ac的中點為m.
因為m為ac和ob的交點，且m≠0，k≠0，所以直線ob的斜率為－.
因為k·≠－1，所以ac與ob不垂直．
所以oabc不是菱形，與假設矛盾．
所以當點b不是w的頂點時，四邊形oabc不可能是菱形．
3．（2013湖南，13分）已知f1，f2分別是橢圓e：＋y2＝1的左、右焦點，f1，f2關於直線x＋y－2＝0的對稱點是圓c的一條直徑的兩個端點．
(1)求圓c的方程；
(2)設過點f2的直線l被橢圓e和圓c所截得的弦長分別為a，b.當ab最大時，求直線l的方程．
解：本題主要考查橢圓的幾何性質、圓的方程、弦長和弦長最值的求解，意在考查考生的計算能力、資料處理能力和轉化能力．
(1)由題設知，f1，f2的座標分別為(－2,0)，(2,0)，圓c的半徑為2，圓心為原點o關於直線x＋y－2＝0的對稱點．
設圓心的座標為(x0，y0)，由解得所以圓c的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由題意，可設直線l的方程為x＝my＋2，則圓心到直線l的距離d＝.所以b＝2＝.
由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.
設l與e的兩個交點座標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
於是a＝＝＝
＝＝.從而ab＝＝＝≤＝2.
當且僅當＝，即m＝±時等號成立．
故當m＝±時，ab最大，此時，直線l的方程為x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
4．（2013江西，13分）橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓c的方程；
(2)如圖，a，b，d是橢圓c的頂點，p是橢圓c上除頂點外的任意一點，直線dp交x軸於點n，直線ad交bp於點m，設bp的斜率為k，mn的斜率為m.證明：2m－k為定值．
解：本題主要考查利用待定係數法求橢圓的方程，考查直線、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關係，考查函式與方程思想、數形結合思想，旨在考查推理論證能力與理性思維能力．
(1)因為e＝＝，
所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故橢圓c的方程為＋y2＝1.
(2)證明：法一：因為b(2,0)，p不為橢圓頂點，則直線bp的方程為y＝k(x－2)，①
把①代入＋y2＝1，
解得p.
直線ad的方程為：y＝x＋1.②
①與②聯立解得m.
由d(0,1)，p，n(x,0)三點共線知
＝，解得n.
所以mn的斜率為m＝＝＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
法二：設p(x0，y0)(x0≠0，±2)，則k＝，
直線ad的方程為：y＝(x＋2)，
直線bp的方程為：y＝(x－2)，
直線dp的方程為：y－1＝x，令y＝0，由於y0≠1，可得n
聯立解得m，
因此mn的斜率為m＝＝
＝＝，所以2m－k＝－＝＝
＝＝(定值)．
5．（2013廣東，14分）已知拋物線c的頂點為原點，其焦點f(0，c)(c＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為，設p為直線l上的點，過點p作拋物線c的兩條切線pa，pb，其中a，b為切點．
(1)求拋物線c的方程；
(2)當點p(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線ab的方程；
(3)當點p在直線l上移動時，求|af|·|bf|的最小值．
解：本題主要考查點到直線距離公式的運用、直線與圓錐曲線的位置關係及解析幾何中的最值問題，意在考查考生運用數形結合思想、函式與方程思想解決問題的能力．
(1)∵拋物線c的焦點f(0，c)(c＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為，
∴＝，得c＝1，
∴f(0,1)，即拋物線c的方程為x2＝4y.
(2)設切點a(x1，y1)，b(x2，y2)，
由x2＝4y得y′＝x，
∴切線pa：y－y1＝x1(x－x1)，
有y＝x1x－x＋y1，而x＝4y1，
即切線pa：y＝x1x－y1，
同理可得切線pb：y＝x2x－y2.
∵兩切線均過定點p(x0，y0)，
∴y0＝x1x0－y1，y0＝x2x0－y2，
由以上兩式知點a，b均在直線y0＝xx0－y上，
∴直線ab的方程為y0＝xx0－y，
即y＝x0x－y0.
(3)設點p的座標為(x′，y′)，由x′－y′－2＝0，得x′＝y′＋2，
則|af|·|bf|＝·＝·＝·＝(y1＋1)·(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
由得y2＋(2y′－x′2)y＋y′2＝0，
有y1＋y2＝x′2－2y′，y1y2＝y′2，
∴|af|·|bf|＝y′2＋x′2－2y′＋1＝y′2＋(y′＋2)2－2y′＋1＝22＋，
當y′＝－，x′＝時，
即p時，|af|·|bf|取得最小值.
6．（2013遼寧，12分）如圖，拋物線c1：x2＝4y，c2：x2＝－2py(p＞0)．點m(x0，y0)在拋物線c2上，過m作c1的切線，切點為a，b(m為原點o時，a，b重合於o)．當x0＝1－時，切線ma的斜率為－.
(1)求p的值；
(2)當m在c2上運動時，ab中點n的軌跡方程(a，b重合於o時，中點為o.)
解：本題主要考查拋物線的標準方程，求導運算、直線的點斜式方程，以及求軌跡方程，意在考查考生利用導數知識解決圓錐曲線問題的能力，以及處理直線與圓錐曲線的位置關係的熟練程度和運算化簡能力．
(1)因為拋物線c1：x2＝4y上任意一點(x，y)的切線斜率為y′＝，且切線ma的斜率為－，所以a點座標為.故切線ma的方程為y＝－(x＋1)＋.
因為點m(1－，y0)在切線ma及拋物線c2上，於是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)設n(x，y)，a，b，x1≠x2，由n為線段ab中點知x＝，③
y＝.④
切線ma，mb的方程為
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得ma，mb的交點m(x0，y0)的座標為
x0＝，y0＝.
因為點m(x0，y0)在c2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得
x2＝y，x≠0.
當x1＝x2時，a，b重合於原點o，ab中點n為o，座標滿足x2＝y.
因此ab中點n的軌跡方程為x2＝y.
7．（2012遼寧，5分）已知p，q為拋物線x2＝2y上兩點，點p，q的橫座標分別為4，－2，過p，q分別作拋物線的切線，兩切線交於點a，則點a的縱座標為( )
a．1b．3
c．－4 d．－8
解析：因為p，q兩點的橫座標分別為4，－2，且p，q兩點都在拋物線y＝x2上，所以p(4,8)，q(－2,2)．因為y′＝x，所以kpa＝4，kqa＝－2，則直線pa，qa的方程聯立得，即，可得a點座標為(1，－4)．
答案：c
8．（2010山東，5分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，若線段ab的中點的縱座標為2，則該拋物線的準線方程為( )
a．x＝1b．x＝－1
c．x＝2 d．x＝－2
解析：拋物線的焦點f(，0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y＋，將其代入得：y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1.
答案：b
(1)若∠bfd＝90°，△abd的面積為4，求p的值及圓f的方程；
(2)若a，b，f三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與c只有乙個公共點，求座標原點到m，n距離的比值．
解：(1)由已知可得△bfd為等腰直角三角形，|bd|＝2p，圓f的半徑|fa|＝p.
第四節圓錐曲線的綜合問題
高考試題 考點一橢圓與雙曲線綜合中基本量的計算問題 1.2013年浙江卷,文9 如圖,f1,f2是橢圓c1 y2 1與雙曲線c2的公共焦點,a,b分別是c1,c2在第 二 四象限的公共點.若四邊形af1bf2為矩形,則c2的離心率是 a b c d 解析 由橢圓定義得,af1 af2 4,f1f2 ...
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課題 小結與複習 二 教學目的 1 通過小結與複習，使同學們完整準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區別與聯絡 2 通過本節教學使學生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法 座標法 並在教學中進一步培養他們形與數結合的思想 化歸的數學思想以及 應用數學 的意識 3 結...
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