高考試題
考點一橢圓與雙曲線綜合中基本量的計算問題
1.(2023年浙江卷,文9)如圖,f1,f2是橢圓c1: +y2=1與雙曲線c2的公共焦點,a,b分別是c1,c2在第
二、四象限的公共點.若四邊形af1bf2為矩形,則c2的離心率是( )
(a) (b) (c) (d)
解析:由橢圓定義得,|af1|+|af2|=4,
|f1f2|=2=2,
因為四邊形af1bf2為矩形,
所以|af1|2+|af2|2=|f1f2|2=12,
所以2|af1||af2|=(|af1|+|af2|)2-(|af1|2+|af2|2)=16-12=4,
所以(|af2|-|af1|)2=|af1|2+|af2|2-2|af1||af2|=12-4=8,
所以|af2|-|af1|=2,
因此對於雙曲線有a=,c=,
所以c2的離心率e==.
故選d.
答案:d
2.(2023年山東卷,理10)已知橢圓c: +=1(a>b>0)的離心率為.
雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓c有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓c的方程為( )
(a) +=1 (b) +=1
(c) +=1 (d) +=1
解析:利用橢圓離心率的概念和雙曲線漸近線求法求解.
∵橢圓的離心率為,
∴==,
∴a=2b.
∴橢圓方程為x2+4y2=4b2.
∵雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為x±y=0,
∴漸近線x±y=0與橢圓x2+4y2=4b2在第一象限的交點為,
∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為
b×b=4,
∴b2=5,
∴a2=4b2=20.
∴橢圓c的方程為+=1.
故選d.
答案:d
3.(2023年浙江卷,文8)如圖所示,中心均為原點o的雙曲線與橢圓有公共焦點,m、n是雙曲線的兩頂點.若m,o,n將橢圓長軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是( )
(a)3 (b)2c) (d)
解析:設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),半焦距為c1,
則橢圓的離心率為e1=.
設雙曲線的標準方程為-=1(m>0,n>0),半焦距為c2,
則雙曲線的離心率為e2=.
由雙曲線與橢圓共焦點知c1=c2.
由點m,o,n將橢圓長軸四等分可知m=a-m,
即2m=a.
∴===2.
故選b.
答案:b
4.(2023年浙江卷,文9)已知橢圓c1: +=1(a>b>0)與雙曲線c2:
x2-=1有公共的焦點,c2的一條漸近線與以c1的長軸為直徑的圓相交於a,b兩點.若c1恰好將線段ab三等分,則( )
(a)a2= (b)a2=13
(c)b2= (d)b2=2
解析:雙曲線漸近線方程為y=±2x,
圓的方程為x2+y2=a2,
則|ab|=2a,不妨設y=2x與橢圓交於p、q兩點,且p在x軸上方,
則由已知|pq|=|ab|=,
∴|op|=,
∴p.又∵點p在橢圓上,
∴+=1.①
又a2-b2=5,b2=a2-5,②
聯立①②解得故選c.
答案:c
5.(2023年山東卷,文15)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)和橢圓+=1有相同的焦點,且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為 .
解析:橢圓+=1的焦點座標為f1(-,0),f2(,0),離心率為e=.
由於雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點,
因此a2+b2=7.
又雙曲線的離心率e==,
所以=,
所以a=2,b2=c2-a2=3,
故雙曲線的方程為-=1.
答案: -=1
考點二橢圓與拋物線綜合問題及解法
1.(2023年山東卷,理21)在平面直角座標系xoy中,f是拋物線c:x2=2py(p>0)的焦點,m是拋物線c上位於第一象限內的任意一點,過m,f,o三點的圓的圓心為q,點q到拋物線c的準線的距離為.
(1)求拋物線c的方程;
(2)是否存在點m,使得直線mq與拋物線c相切於點m?若存在,求出點m的座標;若不存在,說明理由.
(3)若點m的橫座標為,直線l:y=kx+與拋物線c有兩個不同的交點a,b,l與圓q有兩個不同的交點d,e,求當≤k≤2時,|ab|2+|de|2的最小值.
解:(1)依題意知f,圓心q**段of的垂直平分線y=上,
因為拋物線c的準線方程為y=-,
所以=,
即p=1.
因此拋物線c的方程為x2=2y.
(2)假設存在點m (x0>0)滿足條件,拋物線c在點m處的切線斜率為y′==x0,
所以直線mq的方程為y-=x0(x-x0).
令y=得xq=+.
所以q（+,）.
又|qm|=|oq|,
故（-）2+（-）2=（+）2+,
因此（-）2=.
又x0>0,
所以x0=,此時m(,1).
故存在點m(,1),
使得直線mq與拋物線c相切於點m.
(3)當x0=時,由(2)得q（,）,
☉q的半徑為r==,
所以☉q的方程為（x-）2+（y-）2=.
由整理得2x2-4kx-1=0.
設a,b兩點的座標分別為(x1,y1),(x2,y2),
由於δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,
所以|ab|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)(4k2+2).
由整理得(1+k2)x2-x-=0.
設d,e兩點的座標分別為(x3,y3),(x4,y4),
由於δ2=+>0,x3+x4=,
x3x4=-.
所以|de|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]
=+.因此|ab|2+|de|2=(1+k2)(4k2+2)+ +.
令1+k2=t,
由於≤k≤2,
則≤t≤5,
所以|ab|2+|de|2=t(4t-2)+ +
=4t2-2t++,
設g(t)=4t2-2t++,t∈,
因為g′(t)=8t-2-,
所以當t∈時,g′(t)≥g′=6,
即函式g(t)在t∈上是增函式,
所以當t=時,g(t)取到最小值,
因此,當k=時,|ab|2+|de|2取到最小值.
2.(2023年廣東卷,文20)在平面直角座標系xoy中,已知橢圓c1: +=1(a>b>0)的左焦點為f1(-1,0),且點p(0,1)在c1上.
(1)求橢圓c1的方程;
(2)設直線l同時與橢圓c1和拋物線c2:y2=4x相切,求直線l的方程.
解:(1)因為橢圓c1的左焦點為f1(-1,0),
所以c=1.
將點p(0,1)代入橢圓方程+=1,
得=1,即b=1.
所以a2=b2+c2=2.
所以橢圓c1的方程為+y2=1.
(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等於0,
設直線l的方程為y=kx+m,
由消去y並整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因為直線l與橢圓c1相切,
所以δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.
整理得2k2-m2+1=0.①
由消去y並整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.
因為直線l與拋物線c2相切,
所以δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,
整理得km=1.②
綜合①②,解得或
所以直線l的方程為y=x+或y=-x-.
3.(2023年江西卷,理21)設橢圓c1: +=1(a>b>0),拋物線c2:x2+by=b2.
第8章第8節圓錐曲線的綜合問題
2009 2013年高考真題備選題庫 第8章平面解析幾何 第8節圓錐曲線的綜合問題 考點直線與圓錐曲線的位置關係 1 2013安徽，13分 已知橢圓c 1 a b 0 的焦距為4，且過點p 1 求橢圓c的方程 2 設q x0，y0 x0y0 0 為橢圓c上一點 過點q作x軸的垂線，垂足為e.取點a ...
第十節圓錐曲線的綜合問題 範圍 最值問題
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第四節排列與組合的綜合問題
一 選擇題 1 從5名學生中選出4名分別參加數學 物理 化學 外語競賽，其中a不參加物理 化學競賽，則不同的參賽方案種數為 a 24b 48 c 120d 72 2 2009年福州模擬 已知集合a b c 從這三個集合中各取乙個元素構成空間直角座標系中點的座標，則確定的不同點的個數為 a 33b 3...