高考試題
考點一正弦定理與餘弦定理
1.(2023年新課標全國卷ⅰ,文10)已知銳角△abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c,23cos2a+cos 2a=0,a=7,c=6,則b等於( )
(a)10 (b)9 (c)8 (d)5
解析:由題意知,23cos2a+2cos2a-1=0,
即cos2a=,
又因△abc為銳角三角形,
所以cos a=.
△abc中由餘弦定理知72=b2+62-2b×6×,
即b2-b-13=0,
即b=5或b=-(捨去),故選d.
答案:d
2.(2023年陝西卷,文9)設△abc的內角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,若bcos c+ccos b=asin a,則△abc的形狀為( )
(a)直角三角形 (b)銳角三角形
(c)鈍角三角形 (d)不確定
解析:由正弦定理,得sin bcos c+cos bsin c=sin2a,
則sin(b+c)=sin2a,
由三角形內角和定理及互為補角的誘導公式,
得sin(b+c)=sin2a=1,
所以a=,故選a.
答案:a
3.(2023年北京卷,文5)在△abc中,a=3,b=5,sin a=,則sin b等於( )
(a) (b) (c) (d)1
解析:由正弦定理得=,sin b==.故選b.
答案:b
4.(2023年山東卷,文7)△abc的內角a、b、c所對的邊分別為a、b、c.若b=2a,a=1,b=,則c等於( )
(a)2 (b)2 (c) (d)1
解析:由正弦定理,得=,
∵b=2a,a=1,b=,
∴==,
∵sin a≠0,
∴cos a=得a=,b=,c=.
∴c==2.故選b.
答案:b
5.(2023年湖南卷,文5)在銳角△abc中,角a,b所對的邊長分別為a,b.若2asin b=b,則角a等於( )
(a) (b) (c) (d)
解析:由正弦定理得,2sin asin b=sin b,sin a=,
因為△abc為銳角三角形,所以a=.故選a.
答案:a
6.(2023年廣東卷,文6)在△abc中,若∠a=60°,∠b=45°,bc=3,則ac等於( )
(a)4 (b)2 (c) (d)
解析:由正弦定理可知, =,
所以ac===2.故選b.
答案:b
7.(2023年浙江卷,文5)在△abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.若acos a=bsin b,則sin acos a+cos2b等於( )
(a)- (b) (c)-1 (d)1
解析:因為在△abc中,acos a=bsin b,
由正弦定理可得sin acos a=sin2b,
即sin acos a=1-cos2b,
所以sin acos a+cos2b=1.故選d.
答案:d
8.(2023年陝西卷,文13)在△abc中,角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c.若a=2,b=,c=2,則b= .
解析:由餘弦定理得b2=a2+c2-2accos b
=22+(2)2-2×2×2cos=4,
∴b=2.
答案:2
9.(2023年福建卷,文13)在△abc中,已知∠bac=60°,∠abc=45°,bc=,則ac= .
解析:由正弦定理知
=,代入資料得=,
∴ac=.
答案:10.(2023年重慶卷,文18)在△abc中,內角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+bc.
(1)求a;
(2)設a=,s為△abc的面積,求s+3cos bcos c的最大值,並指出此時b的值.
解:(1)由餘弦定理得cos a===-.
又0(2)由(1)得sin a=,又由正弦定理及a=得
s=absin c=··asin c=3sin bsin c,
因此,s+3cos bcos c=3(sin bsin c+cos bcos c)
=3cos(b-c).
所以,當b=c,即b==時,
s+3cos bcos c取最大值3.
11.(2023年湖北卷,文18)在△abc中,角a,b,c對應的邊分別是a,b,c.已知cos 2a-3cos(b+c)=1.
(1)求角a的大小;
(2)若△abc的面積s=5,b=5,求sin bsin c的值.
解:(1)由cos 2a-3cos(b+c)=1,
得2cos2 a+3cos a-2=0,
即(2cos a-1)(cos a+2)=0.
解得cos a=或cos a=-2(捨去).
因為0(2)由s=bcsin a=bc×=bc=5,得bc=20.
又b=5,所以c=4.
由餘弦定理,得a2=b2+c2-2bccos a=25+16-20=21,
故a=.
又由正弦定理,得sin bsin c=sin a·sin a=·sin2 a=×=.
12.(2023年新課標全國卷,文17)已知a,b,c分別為△abc三個內角a,b,c的對邊,c=asin c-ccos a.
(1)求a;
(2)若a=2,△abc的面積為,求b,c.
解:(1)由c=asin c-ccos a及正弦定理得
sin asin c-cos asin c-sin c=0,
由sin c≠0,所以sin（a-）=,
又0(2)△abc的面積s=bcsin a=,故bc=4.
由餘弦定理知a2=b2+c2-2bccos a,得b2+c2=8,
解得b=c=2.
考點二正弦定理、餘弦定理的應用
1.(2023年遼寧卷,文6)在△abc中,內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.若asin bcos c+csin bcos a=b,且a>b,則∠b等於( )
(a) (b) (c) (d)
解析:由asin bcos c+csin bcos a=b得
sin asin bcos c+sin csin bcos a=sin b,
因為sin b≠0,
所以sin acos c+cos asin c=,
即sin(a+c)= ,sin b=,
又a>b,則∠b=,故選a.
答案:a
2.(2023年新課標全國卷ⅱ,文4)△abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知b=2,b=,c=,則△abc的面積為( )
(a)2+2 (b) +1
(c)2-2 (d) -1
解析:由正弦定理知c==2.
又sin a=sin(π-b-c)
=sin(b+c)
=sin bcos c+cos bsin c
=,所以△abc的面積s=bcsin a=+1.
故選b.
答案:b
3.(2023年安徽卷,文9)設△abc的內角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c,若b+c=2a,3sin a=5sin b,則角c等於( )
(a) (b) (c) (d)
解析:利用正弦定理,由3sin a=5sin b得a=b,
又因b+c=2a,得c=2a-b=b-b=b,
所以cos c====-,則c=.故選b.
答案:b
4.(2023年湖北卷,文8)設△abc的內角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續的三個正整數,且a>b>c,3b=20acos a,則sin a∶sin b∶sin c為( )
(a)4∶3∶2 (b)5∶6∶7
(c)5∶4∶3 (d)6∶5∶4
解析:因為a,b,c為連續的三個正整數,且a>b>c,
可得a=c+2,b=c+1;①
又因為3b=20acos a,
由餘弦定理可知cos a=,
則3b=20a·,②
聯立①②,化簡可得7c2-13c-60=0,
解得c=4或c=- (捨去),則a=6,b=5.
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