解斜三角形

正弦定理、余弦應用（1）

一、知識梳理

1.正弦定理：

在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.

（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）

2.餘弦定理：

三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即① a2=b2+c2－2bccosa； ② b2=c2+a2－2cacosb； ③ c2=a2+b2－2abcosc.

或：cosa=；cosb=；cosc=.

在餘弦定理中，令c=90°，這時cosc=0，所以c2=a2+b2. 餘弦定理是勾股定理的推廣.

利用餘弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：

（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.

二、練習

1．在rtδabc中，a、b為直角邊，c為斜邊，則c的外接圓半徑r內切圓半

徑r斜邊上的高為hc斜邊被垂足分成兩線段之長為

2．寫出你記得的三角形面積計算公式

3．根據下列條件，判斷三角形解的個數

（1）a = 80°，b = 100，a=30

（2）a = 50°，b = 100，a=30

（3）a = 40°，b = 100，a=30

4．三角形的三邊之比為3:5:7，則其最大角為

5．δabc中，若ab = 1，bc = 2，則∠c的取值範圍是

三、例題

例1．在δabc中，已知b = 45°，外接圓半徑、hc分別為b，c邊上的高，求三邊.

例2、在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值.

例 3．某觀測站c在城a的南偏西20°的方向（如圖），由a出發的一條公路走向是南偏東40°，在c處測得距c是31裡的公路上b處有一人正沿公路向a城走去，走了20公里之後，到達d處，此時c、d的距離為21公里，問這個還要走多少路可到達a城.

四、練習

1.在△abc中，「a＞30°」是「sina＞」的

a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件

c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件

3.在△abc中，角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積s=（a2+b2－c2），則∠c的度數是

4.在△abc中，若∠c=60°，則

5.在△abc中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是

6．設∠內的一點，它們兩邊的距離pm和pn的長分別為11和2，則op的長等於

7．三角形的乙個角是60°，夾這個角的兩邊長分別為8和5，它的內切圓面積為

8．在δabc中中，a，b，c成等差數列，最大角是最小角的2倍，則a ： b ： c

9．在δabc中，已知sina ： sinb ： sinc = 4 ： 5 ： 6，則 cosa ： cosb ： cosc

10．在δabc中，已知 c = 4，a = 45°，b = 60°，求a、b，r和s△abc.

11．在δabc中，b ： a = 2 ： 1，b = a + 60°，求a.

12．ad、be、cf為δabc的三條高，d、e、f是垂足，若b = 45°，c = 60°求的值.

13.如圖，△abc是簡易遮陽棚，a、b是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面abd面積最大，遮陽棚abc與地面所成的角為

a.75b.60c.50d.45°

14.某城市有一條公路，自西向東經過a點到市中心o點後轉向東北方向ob，現要修建一條鐵路l，l在oa上設一站a，在ob上設一站b，鐵路在ab部分為直線段，現要求市中心o與ab的距離為10 km，問把a、b分別設在公路上離中心o多遠處才能使|ab|最短?並求其最短距離.

（不要求作近似計算）

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