圓錐曲線綜合應用專題
1．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a和b，且（其中o為原點），求的範圍.
2．如圖,過拋物線的對稱軸上任
一點作直線與拋物線交於a、b兩點，點q是點p關於原點的對稱點．
⑴．設點p滿足（為實數），
證明：；
⑵．設直線ab的方程是，過a、b兩點
的圓c與拋物線在點a處有共同的切線，求圓c的方程．
3．一束光線從點出發，經直線上一點反射後，恰好穿過點．
（ⅰ）求點關於直線的對稱點的座標；
（ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；
（ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交於、兩點，點為線段上的動點，求點到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，並求取得最小值時點的座標．
4．已知平面上一定點和一定直線ｐ為該平面上一動點，作垂足為，.
(1) 問點ｐ在什麼曲線上？並求出該曲線方程；
點ｏ是座標原點，兩點在點ｐ的軌跡上，若求的取值範圍．
5．如圖，已知e、f為平面上的兩個定點 ，，且，·，（g為動點，p是hp和gf的交點）
（1）建立適當的平面直角座標系求出點的軌跡方程；
（2）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與
（或的延長線）相交於一點，則＜（為的中點）．
6．已知動圓過定點，且與直線相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；
(2) 是否存在直線，使過點（0，1），並與軌跡交於兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
7．已知若動點p滿足
（1）求動點p的軌跡方c的方程；
（2）設q是曲線c上任意一點，求q到直線的距離的最小值.
8已知拋物線x=2py(p>0)，過動點m(0,a)，且斜率為1的直線l與該拋物線交於不同兩點a、b，|ab|≤2p,
（1）求a的取值範圍；
（2）若p=2，a=3，求直線l與拋物線所圍成的區域的面積；
9．如圖，直角梯形abcd中，∠，ad∥bc，ab=2，ad=，bc=
橢圓f以a、b為焦點且過點d，
（ⅰ）建立適當的直角座標系，求橢圓的方程；
（ⅱ）若點e滿足,是否存在斜率
兩點，且，若存在，求k的取值範圍；若不存在，說明理由.
10．已知是函式圖象上一點，過點的切線與軸交於，過點作軸的垂線，垂足為 .
（1）求點座標；
（2）若，求的面積的最大值，並求此時的值.
參***
1．解：（1）設雙曲線的方程為1分）
則，再由得3分）
故的方程為4分）
（2）將代入
得5分）
由直線與雙曲線c2交於不同的兩點得：
7分）且8分）
設，則10分）
又，得即，解得12分）
由①、②得：，故k的取值範圍為. （14分）
2．解⑴．依題意,可設直線ab的方程為,代入拋物線方程，得：
分設a、b兩點的座標分別是、，則是方程①的兩根，
所以分由點p滿足（為實數，），得， 即．
又點q是點p關於原點的以稱點，故點q的座標是，從而．= =
= =06分
所以7分
⑵．由得點a、b的座標分別是、．
由得，所以，拋物線在點a處切線的斜率為9分
設圓c的方程是，
則11分
解得13分
所以，圓c的方程是14分
3．解：（ⅰ）設的座標為，則且．……2分
解得， 因此，點的座標為4分
（ⅱ），根據橢圓定義，
得，……………5分
，．∴所求橢圓方程為7分
（ⅲ），橢圓的準線方程為8分
設點的座標為,
表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．
則，．10分
令，則，
當，， ，．
∴ 在時取得最小值13分
因此，最小值＝，此時點的座標為．…………14分
注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．
說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心率．
4．解:(1)由,得: ,………（2分）
設,則,化簡得: ,………（4分）
點p在橢圓上,其方程為.………（6分）
(2)設、，由得：，
所以，、b 、c三點共線.且,得:,
即: …（8分）
因為,所以 ①………（9分）
又因為,所以 ②………（10分）
由①-②得: ,化簡得: ,………（12分）
因為,所以.
解得: 所以的取值範圍為1４分）
5．解：（1）如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，
建立平面直角座標系1分
由題設，
∴，而3分
∴點是以、為焦點、長軸長為10的橢圓，
故點的軌跡方程是4分
（2）如圖2 ，設，，，
∴，且6分
即又、在軌跡上，∴，
即8分代入整理得：
10分∵， ，∴．
∵，∴∴，即14分
6．（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知2分
即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線， ∴ 動點的軌跡方程為5分
（2）由題可設直線的方程為，
由得7分設，，則，…………9分
由，即 ，，
於是，……11分
即，， ，解得或（捨去13分
又， ∴ 直線存在，其方程為14分
17．解：（1）設動點p（x，y），則
由已知得，
∴點p的軌跡方程是橢圓c：
（2）解一：由幾何性質意義知，橢圓c與平行的切線其中一條l『和l的距離等於q與l的距離的最小值.
設，入橢圓方程消去x化簡得：
解二：由集合意義知，橢圓c與平行的切線其中一條l『和l的距離等於q與l的距離的最小值.設切點為，，解得
，解三：由橢圓引數方程設）
則q與l距離
解四：設，且q與l距離
由柯西不等式
，18．解：(1)設直線l方程為：y=x+a與拋物線聯立方程組得 x-2px-2ap=0
4p+8ap>0 a>-
x+x=2p xx=-2ap
解得a (2)若p=2，a=3，則直線l方程為：y=x+3 拋物線方程為x=4y
x-4x-12=0 方程兩根為-2和6
直線與拋物線所圍成區域的面積為：
s==x+3x-=
19．（ⅰ）以ab中點為原點o，ab所在直線為x軸，建立直角座標系，如圖
則a（-1,0） b(1,0) d(-11分)
設橢圓f的方程為 （2分）
得4分）
得所求橢圓f方程6分）
（ⅱ）由，顯然
代入7分）
與橢圓f有兩不同公共點的充要條件是
8分)即
設，9分)
10分）
11分）
得得12分）
代入 13分）
又14分）
解法2， 設，
得得設得9分）
得得11分）
由③、④得
且p（x0,y0）在橢圓f內部
得13分）
又14分）
20．解: （1）∵ ，2分
∴ 過點的切線方成為4分
令，得，即點的座標為6分
（2），
∴ 9分
11分由得，，
∴ 時，單調遞增；時單調遞減；13分
∴.∴ 當，面積的最大值為.14分
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