湘鄉四中2023年上學期競獎考試試卷
高二數學（理科）
考試時間：120分鐘姓名總分：150分
第i卷（選擇題共60分）
一、選擇題（每小題4分，共60分.）
1. =
a.– 1 + 2ib.1 + 2ic.– 5 + 10id.– 1 – 2i
2. 拋物線的準線方程是
abcd．
3．向量，則與其共線且滿足的向量是
ab．（4，－2，4c．（－4，2，－4） d．（2，－3，4）
4．三點不共線，麵外的任一點，下列條件中能確定點與點一定共面的是
ab.cd.
5．已知兩點、，且是與的等差中項，則動點的軌跡方程是
abc． d．
6．（x－y）10的展開式中項的係數是
a. 840b. －840c. 210d.－210
7. 函式在[0，3]上最大，最小值分別為
a. 5，-15b. 5，4c. -4，-15d. 5，-16
8．拋物線y＝x2到直線 2x－y＝4距離最近的點的座標是
ab．(1，1cd．(2，4)
9．給出下列三個命題：
（1），；
（2），方程無實數根；
（3）所有能被3整除的整數都是奇數．
其中正確的命題的個數是
a.0b.1c.2d.3
10．若，則「」是「方程表示雙曲線」的
a.充分不必要條件b.必要不充分條件.
c.充要條件d.既不充分也不必要條件.
11．在200件產品中有3件次品，現從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有
a.種b.(－ ) 種
c. 種d.（）種
12. 將1，2，3填入3×3 的方格中，要求每行、每列都沒有重複數字(下面是一種填法)，則不同的填寫方法共有
a.6種b.12種c.24種d.48種
13．曲線在點處的切線與座標軸所圍三角形的面積為
14. 對 ，函式不存在極值的充要條件是
ab. 或7
c. 或21d. 或
15．如圖，正方體的稜長為2，點是平面上的動點，點在稜上，且，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為4，則動點的軌跡是
a．圓b．拋物線
c．雙曲線d．橢圓
第ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題（每題5分，共25分）
16.已知abcd是復平面內的平行四邊形,且a,b,c三點對應的複數分別是,則點d對應的複數是
17．平行六面體從乙個頂點出發的三條稜長度都為1,且每兩條成的角都為60°,則從這個頂點出發的平行六面體的對角線長為
18．焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則
19. 函式的導數是_______.
20．過拋物線的焦點的直線交拋物線於兩點，且在直線上的射影分別是，則的大小為
三、解答題(本大題共5小題，共65分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
21. (12分)已知數列中,,
(1)求
(2)試推測出數列的通項公式,並給出證明.
22. (12分)求直線與拋物線所圍成圖形的面積。
23.(13分)如圖，在正方體中，為的中點．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
24.(13分)已知函式。
（1）求函式的影象在處的切線方程；
（2）求的最大值;
(3) 設實數，求函式在上的最小值
25、(15分) 已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過點且與橢圓相交於兩點，當面積取得最大值時，求直線的方程．
湘鄉四中2023年上學期競獎考試答題卷
高二數學（理科）
考試時間：120分鐘總分：150分
班級姓名得分：
一 、選擇題(每小題4分，共60分)
一． 二、填空題（每小題5分，共25分）
16、 17、 18、 19、 20、
三、解答題(本大題共5小題，共65分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
21.（1）， 2分
（2）， 5分。 證明略 8分
22.解，方程組得：直線與拋物線的交點的橫座標為和， 2分tesoon
由題設得
4分8分
23.（1）； 4分
（2）平面，所以為平面的法向量， ，
設平面法向量為，又，，
即，取，
所以…………8分
又 函式的在處的切線方程為：
，即2分
（2）令得
當時，，在上為增函式
當時，，在上為減函式
5分 （3），由（2）知：
在上單調遞增，在上單調遞減。
在上的最小值
故當時，；
當時， 8分
25．解設橢圓方程為
（1）由已知得∴所求橢圓方程為 2分
（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為
由，消去y得關於x的方程： 4分
由直線與橢圓相交於a、b兩點，，解得
又由韋達定理得，
原點到直線的距離
. 6分
令，則當且僅當即時，，此時
所以，所求直線方程為 8分
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