高二數學圓錐曲線與方程單元複習與鞏固
知識網路
知識要點梳理
知識點一：圓錐曲線的統一定義
橢圓、雙曲線、拋物線統稱圓錐曲線。
平面內，到一定點的距離與它到一條定直線（不經過定點）的距離之比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線。定點叫做焦點，定直線叫做準線、常數叫做離心率。
①e∈（0，1）時軌跡是橢圓；
②e=1時軌跡是拋物線；
③e∈（1，+∞）時軌跡是雙曲線。
知識點二：圓錐曲線的標準方程和幾何性質
1．橢圓：
(1)定義：平面內到兩個定點f1、f2的距離之和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫橢圓，這兩個定點叫焦點．
(2)標準方程
當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
(3)橢圓的的簡單幾何性質:
範圍：，，
焦點，頂點、，長軸長=，短軸長=，焦距＝，
2．雙曲線
(1)定義：平面內與兩個定點f1、f2的距離的差的絕對值等於常數(小於|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫雙曲線的焦點．
(2)標準方程
當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；
當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中.
(3)雙曲線的簡單幾何性質
範圍：，；
焦點，頂點，實軸長=，虛軸長=，焦距＝；
離心率是，準線方程是；
漸近線：.
3．拋物線
(1)定義:平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線．
(2)標準方程
四種形式：，，，。
(3)拋物線標準方程的幾何性質
範圍：，，
對稱性：關於x軸對稱
頂點：座標原點
離心率：.
知識點三：直線和圓錐曲線的位置關係
1．直線ax+by+c＝0和橢圓的位置關係：
將直線方程代入橢圓後化簡為一元二次方程，其判別式為δ。
(1)若δ＞0，則直線和橢圓相交，有兩個交點(或兩個公共點)；
(2)若δ＝0，則直線和橢圓相切，有乙個切點(或乙個公共點)；
(3)若δ＜0，則直線和橢圓相離，無公共點．
2．直線ax+by+c＝0和雙曲線的位置關係：
將直線方程代入雙曲線方程後化簡方程
①若為一元一次方程，則直線和雙曲線的漸近線平行，直線和雙曲線只有乙個交點，但不相切不是切點；
②若為一元二次方程，則
(1)若δ＞0，則直線和雙曲線相交，有兩個交點(或兩個公共點)；
(2)若δ＝0，則直線和雙曲線相切，有乙個切點；
(3)若δ＜0，則直線和雙曲線相離，無公共點．
注意：如說直線和雙曲線有乙個公共點，則要考慮兩種情況：乙個切點和乙個交點
3．直線ax+by+c＝0和拋物線y2＝2px(p＞0)的位置關係：
將直線方程代入拋物線方程後化簡後方程：
①若為一元一次方程，則直線和拋物線的對稱軸平行，直線和拋物線有乙個交點，但不相切不是切點；
②若為一元二次方程，則
(1)若δ＞0，則直線和拋物線相交，有兩個交點(或兩個公共點)；
(2)若δ＝0，則直線和拋物線相切，有乙個切點；
(3)若δ＜0，則直線和拋物線相離，無公共點。
注意：如說直線和拋物線有乙個公共點，則要考慮兩種情況：乙個切點和乙個交點
4．直線被圓錐曲線截得的弦長公式：
當直線的斜率k存在時，直線y＝kx+b與圓錐曲線相交於，兩點，
弦長公式：
當k存在且不為零時, 弦長公式還可以寫成：
知識點四：曲線的方程和方程的曲線的關係
一般地，在直角座標系中，如果某曲線（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下的關係：
（1）曲線上所有點的座標都是方程的解；
（2）以方程的解為座標的點都在曲線上.
那麼，方程叫做曲線的方程；曲線叫做方程的曲線.
知識點五：求曲線的方程
1. 定義：在直角座標系中，用座標表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的座標（x，y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質.
這就是座標法.
2. 座標法求曲線方程的步驟：
第一步：建立適當的平面直角座標系，用座標和方程表示問題中涉及的幾何因素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算結果「翻譯」成幾何結論.
通過座標法，把點和座標、曲線和方程聯絡起來，實現了形和數的統一.
用座標法解決幾何問題時，先用座標和方程表示相應的幾何物件，然後對座標和方程進行代數討論；最後再把代數運算結果「翻譯」成相應的幾何結論.這就是用座標法解決平面幾何問題的「三步曲」。
3．求軌跡方程的常用方法：直接法、相關點法.定義法、代入法、引數法等。
規律方法指導
3．圓錐曲線綜合題型別
(1)用待定係數法求圓錐曲線方程
①數形結合：先定型，再定量，注意區分解析條件與純幾何條件，如果位置不確定時，考慮是否兩解．在圖形上標出已知條件，檢查軸上的點、垂直於軸的直線的位置是否準確；
②方程思想：n個未知數，列夠n個獨立的方程，並注意韋達定理的使用：
③注意「點**上」條件的使用．
(2)求軌跡方程
基本方法：定義法、直接代入法、引數法(利用已知引數方程法或自設引數)．
注意：①注意限制；
②求軌跡方程與求軌跡的區別。求軌跡是要求先求軌跡方程再描述該軌跡方程所表示的曲線型別及相應的幾何特徵；
③n個未知數，列夠n-1個獨立方程，特別注意考慮是否可利用定義直接列出方程．
(3)求取值範圍或最值
①函式方法----將待求範圍引數表示為另乙個變數的函式，注意求函式的定義域。
②方程與不等式組----n個未知數，列夠n個獨立方程或不等式，注意歸納總結列不等式的方法：
③利用幾何性質求引數範圍；
④利用不等式性質(結合幾何性質)求引數範同．
圓錐曲線知識點回顧
1．橢圓的性質
2．雙曲線的性質
3．拋物線中的常用結論
①過拋物線y2＝2px的焦點f的弦ab長的最小值為2p
②設a(x1，y)， 1b(x2，y2)是拋物線y2＝2px上的兩點， 則ab過f的充要條件是y1y2＝－p2
③設a， b是拋物線y2＝2px上的兩點，o為原點， 則oa⊥ob的充要條件是直線ab恆過定點(2p，0)
(4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統稱圓錐曲線)的統一定義
與一定點的距離和一條定直線的距離的比等於常數的點的軌跡叫做圓錐曲線，定點叫做焦點，定直線叫做準線、常數叫做離心率，用e表示，當0＜e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線，當e＝1時，是拋物線．
4．直線與圓錐曲線的位置關係：（在這裡我們把圓包括進來）
(1).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的
a.直線與圓：一般用點到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實根的個數來判斷(解析法).
b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯立方程，判斷相交、相切、相離
c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性
(2).a.求弦所在的直線方程
b.根據其它條件求圓錐曲線方程
(3).已知一點a座標，一直線與圓錐曲線交於兩點p、q，且中點為a，求p、q所在的直線方程
(4).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點關於直線對稱，求某個值的取值範圍（或者是圓錐曲線上否存在兩點關於直線對稱）
5．二次曲線在高考中的應用
二次曲線在高考數學中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結合數學思想方法，並與高等數學基礎知識融為一體，考查學生的數學思維能力及創新能力，其設問形式新穎、有趣、綜合性很強。本文關注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對形成高三複習的新的教學理念將有著積極的促進作用。
(1).重視二次曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的巧妙結合。
(2).重視二次曲線的標準方程和幾何性質與導數的有機聯絡。
(3).重視二次曲線性質與數列的有機結合。
(4).重視解析幾何與立體幾何的有機結合。
6．知識網路
圓錐曲線方程
考試內容 數學探索版權所有橢圓及其標準方程 橢圓的簡單幾何性質 橢圓的引數方程 數學探索版權所有雙曲線及其標準方程 雙曲線的簡單幾何性質 數學探索版權所有拋物線及其標準方程 拋物線的簡單幾何性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握橢圓的定義 標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的引數方...
圓錐曲線方程知識點總結
2011年圓錐曲線方程知識點總結 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中...
圓錐曲線方程知識點總結
8.圓錐曲線方程知識要點 一 橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義 橢圓的標準方程 i.中心在原點，焦點在x軸上 ii.中心在原點，焦點在軸上 一般方程 橢圓的標準方程 的引數方程為 一象限應是屬於 頂點 或.軸 對稱軸 x軸，軸 長軸長，短軸長.焦點 或.焦距 準線 或.離心率 焦點半徑 i.設為橢圓...