1. 等差數列的定義與性質
定義：（為常數），
等差中項：成等差數列
前項和性質：是等差數列
（1）若，則
（2）數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為；
（3）若三個成等差數列，可設為
（4）若是等差數列，且前項和分別為，則
（5）為等差數列（為常數，是關於的常數項為0的二次函式）
的最值可求二次函式的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當，解不等式組可得達到最大值時的值.
當，由可得達到最小值時的值.
(6)項數為偶數的等差數列，有
，.（7）項數為奇數的等差數列，有，，.
2. 等比數列的定義與性質
定義：（為常數，），.
等比中項：成等比數列，或.
前項和：（要注意！）
性質：是等比數列
（1）若，則
（2）仍為等比數列,公比為.
注意：由求時應注意什麼？時，；時，.
3．求數列通項公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：數列，，求解時時
①—②得：，∴，∴
［練習］數列滿足，求
注意到，代入得；又，∴是等比數列，
時，（2）疊乘法
如：數列中，，求
解 ，∴又，∴.
（3）等差型遞推公式
由，求，用迭加法
時，兩邊相加得
∴［練習］數列中，，求（）
（4）等比型遞推公式
（為常數，）
可轉化為等比數列，設
令，∴，∴是首項為為公比的等比數列
∴，∴（5）倒數法
如：，求
由已知得：，∴
∴為等差數列，，公差為，∴，
∴4. 求數列前n項和的常用方法
(1) 裂項法
把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項.
如：是公差為的等差數列，求
解：由∴
［練習］求和：
（2）錯位相減法
若為等差數列，為等比數列，求數列（差比數列）前項和，可由，求，其中為的公比.
如①—②
時，，時，
（3）倒序相加法
把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加.
相加［練習］已知，則
由∴原式
練習題一、選擇題
1.如果乙個數列既是等差數列，又是等比數列，則此數列b ）
（a）為常數數列 （b）為非零的常數數列 （c）存在且唯一 （d）不存在
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成乙個首項為的等差數列，則
｜m－n｜等於( c )．
a．1bcd．
5．等比數列中，a2＝9，a5＝243，則的前4項和為( b ).
a．81b．120c．168d．192
2.在等差數列中，,且, ,成等比數列，則的通項公式為d ）
（a） （b） （c）或 （d）或
3.已知成等比數列，且分別為與、與的等差中項，則的值為c ）
（abc） （d） 不確定
4.互不相等的三個正數成等差數列，是a,b的等比中項，是b,c的等比中項，那麼，，三個數（ a ）
（a）成等差數列不成等比數列b）成等比數列不成等差數列
（c）既成等差數列又成等比數列d）既不成等差數列，又不成等比數列
5.已知數列的前項和為, ,則此數列的通項公式為a）
（a） （b） （c） （d）
6.數列的前項和，則關於數列的下列說法中，正確的個數有c ）
①一定是等比數列，但不可能是等差數列 ②一定是等差數列，但不可能是等比數列 ③可能是等比數列，也可能是等差數列 ④可能既不是等差數列，又不是等比數列 ⑤可能既是等差數列，又是等比數列
（a）4b）3c）2 （d）1
7.數列1，,前n項和為a ）
（a） （b） （c） （d）
9、若兩個等差數列、的前項和分別為、，且滿足，則的值為（ d ）
（abcd）
10.已知數列的前項和為,則數列的前10項和為d）
（a）56 （b）58 （c）62 （d）60
11.已知數列的通項公式為, 從中依次取出第3，9，27，…3n, …項，按原來的順序排成乙個新的數列，則此數列的前n項和為d ）
（a） （b） （c） （d）
12.下列命題中是真命題的是d )
a．數列是等差數列的充要條件是()
b．已知乙個數列的前項和為,如果此數列是等差數列,那麼此數列也是等比數列
c．數列是等比數列的充要條件
d．如果乙個數列的前項和,則此數列是等比數列的充要條件是
7．已知等差數列的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列, 則a2＝( b )．
a．－4b．－6c．－8d． －10
8．設sn是等差數列的前n項和，若＝，則＝( a )．
a．1b．－1c．2d．
9．已知數列－1，a1，a2，－4成等差數列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數列，則的值是( a )．
abc．－或d．
二、填空題
13、各項都是正數的等比數列，公比,成等差數列，則公比=
14、已知等差數列，公差,成等比數列，則=
15、已知數列滿足,則=
一、 解答題
17、已知數列是公差不為零的等差數列，數列是公比為的等比數列， ，求公比及.
.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d
由為等比數例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4 又由是中的第bna項，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18、已知等差數列的公差與等比數列的公比相等，且都等於 , ，, ,求.
∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , (1-3d2)=-2d ①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
,得=2，∴ d2=1或d2=,
由題意，d=,a1=-。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) bn=a1dn-1=-·()n-1
20、已知為等比數列，，求的通項式.
.解: 設等比數列的公比為q, 則q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以+ 2q= , 解得q1= , q2= 3,
當q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
當q=3時, a1=, 所以an=×3n－1=2×3n－3.
21、數列的前項和記為
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求
(i)由可得，兩式相減得
又∴ 故是首項為，公比為得等比數列
∴（ⅱ）設的公差為
由得，可得，可得
故可設又
由題意可得
解得∵等差數列的各項為正，∴ ∴∴
22、已知數列滿足
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列滿足，證明：是等差數列；
22（i）：
是以為首項，2為公比的等比數列。
即（ii）證法一：
②－①，得
即④－③，得
即是等差數列。
知識點總結 含答案
一 知識點總結 三角恒等變換 1 兩角和與差的正弦 余弦和正切公式 2 二倍角的正弦 余弦和正切公式 公升冪公式 降冪公式，3 後兩個不用判斷符號，更加好用 4 合一變形把兩個三角函式的和或差化為 乙個三角函式，乙個角，一次方 的形式。其中 5 1 角的變換 在三角化簡，求值，證明中，表示式中往往出...
數列練習題含答案基礎知識點
數列基礎知識點和方法歸納 1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若，則 2 數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為 3 若三個成等差數列，可設為 4 若是等差數列，且前項和分別為，則 5 為等差數列 為常數，是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求...
數列知識點例題答案
數列高考知識點大掃瞄 數列基本概念 數列是一種特殊函式，對於數列這種特殊函式，著重討論它的定義域 值域 增減性和最值等方面的性質，依據這些性質將數列分類 依定義域分為 有窮數列 無窮數列 依值域分為 有界數列和無界數列 依增減性分為遞增數列 遞減數列和擺動數列。數列的表示方法 列表法 圖象法 解析法...