二次函式綜合題訓練
1、如圖2，已知二次函式的影象經過點a和點b．
（1）求該二次函式的表示式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點座標；
（3）點p（m，m）與點q均在該函式影象上（其中m＞0），且這兩點關於拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點q 到x軸的距離
2、如圖1，已知二次函式圖象的頂點座標為c(1,0)，直線與該二次函式的圖象交於a、b兩點，其中a點的座標為(3,4)，b點在軸上.
（1）求的值及這個二次函式的關係式；
（2）p為線段ab上的乙個動點（點p與a、b不重合），過p作軸的垂線與這個二次函式的圖象交於點e點，設線段pe的長為，點p的橫座標為，求與之間的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍；
（3）d為直線ab與這個二次函式圖象對稱軸的交點，**段ab上是否存在一點p，使得四邊形dcep是平行四邊形？若存在，請求出此時p點的座標；若不存在，請說明理由.
3、如圖10，已知點a(0,8)，在拋物線上，以a為頂點的四邊形abcd是平行四邊形，且項點b，c，d在拋物線上，ad∥x軸，點d在第一象限.
(1)求bc的長；
(2)若點p是線段cd上一動點，當點p運動到何位置時，△dap的面積是7.
(3)鏈結ac，e為ac上一動點，當點e運動到何位置時，直線oe將 abcd分成面積相等的兩部分？並求此時e點的座標及直線oe的函式關係式.
4、(07浙江中考)如圖6，拋物線與x軸交a、b兩點（a點在b點左側），直線與拋物線交於a、c兩點，其中c點的橫座標為2。 （1）求a、b 兩點的座標及直線ac的函式表示式；
（2）p是線段ac上的乙個動點，過p點作y軸的平行線交拋物線於e點，求線段pe長度的最大值；
（3）點g拋物線上的動點，在x軸上是否存在點f，使a、c、f、g這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的f點座標；如果不存在，請說明理由。
4、（05海南中考）如圖8，拋物線與軸交於a(-1,0),b(3,0) 兩點.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)設(1)中的拋物線上有乙個動點p，當點p在該拋物線上滑動到什麼位置時，
滿足s△pab=8,並求出此時p點的座標；
(3)設(1)中拋物線交y 軸於c點，在該拋物線的對稱軸上
是否存在點q，使得△qac的周長最小？若存在，求出q點的座標；若不存在，請說明理由.
7、如圖3，已知拋物線經過o(0,0)，a(4,0),b(3,)三點，鏈結ab，過點b作bc∥軸交該拋物線於點c.
（1） 求這條拋物線的函式關係式.
（2） 兩個動點p、q分別從o、a兩點同時出發,以每秒1個單位長度的速度運動. 其中，點p沿著線段0a向a點運動，點q沿著折線a→b→c的路線向c點運動. 設這兩個動點運動的時間為（秒) (0＜＜4)，△pqa的面積記為s.
① 求s與的函式關係式；
② 當為何值時，s有最大值，最大值是多少？並指出此時△pqa的形狀；
③ 是否存在這樣的值，使得△pqa是直角三角形?若存在，請直接寫出此時p、q兩點的座標；若不存在，請說明理由.
8（07海南中考）如圖7，直線與軸交於點，與軸交於點，已知二次函式的圖象經過點、和點.
（1）求該二次函式的關係式；
（2）設該二次函式的圖象的頂點為，求四邊形的面積；
（3）有兩動點、同時從點出發，其中點以每秒個單位長度的速度沿折線按→→的路線運動，點以每秒個單位長度的速度沿折線按→→的路線運動，當、兩點相遇時，它們都停止運動.設、同時從點出發秒時，的面積為s .
①請問、兩點在運動過程中，是否存在∥，若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由；
②請求出s關於的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍；
③設是②中函式s的最大值，那麼
9、(07年海口模擬二)如圖5，已知拋物線的頂點座標為e（1,0），與軸的交點座標為（0,1）.
（1）求該拋物線的函式關係式.
（2）a、b是軸上兩個動點，且a、b間的距離為ab=4，a在b的左邊，過a作ad⊥軸交拋物線於d，過b作bc⊥軸交拋物線於c. 設a點的座標為（,0），四邊形abcd的面積為s.
① 求s與之間的函式關係式.
② 求四邊形abcd的最小面積，此時四邊形abcd是什麼四邊形？
③ 當四邊形abcd面積最小時，在對角線bd上是否存在這樣的點p，使得△pae的周長最小，若存在，請求出點p的座標及這時△pae的周長；若不存在，說明理由.
二次函式綜合題訓練題型集合
1、 (1) m=1. ∴ 所求二次函式的關係式為y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1
(2) 設p、e兩點的縱座標分別為yp和ye .
∴ pe=h=yp-ye =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x. 即h=-x2+3x (0＜x＜3
(3) 存在
要使四邊形dcep是平行四邊形，必需有pe=dc.∵ 點d在直線y=x+1上,
∴ 點d的座標為(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .解之，得 x1=2，x2=1 (不合題意，捨去) ∴ 當p點的座標為(2,3)時，四邊形dcep是平行四邊形.
2、解：（1）二次函式的表示式為．
（2）對稱軸為；頂點座標為（2，-10）．
（3）將（m，m）代入，得，解得．
∵m＞0，∴不合題意，捨去．∴m=6．∵點p與點q關於對稱軸對稱，∴點q到x軸的距離為6．
3、（1）∴ 所求拋物線的函式關係式為.
（2）① 過點b作be⊥軸於e，則be=，ae=1，ab=2. 由tan∠bae=，得∠bae =60°.
（ⅰ）當點q**段ab上運動，即0＜≤2時，qa=t，pa=4-.
過點q作qf⊥軸於f，則qf=，
∴ s=pa·qf.
（ⅱ）當點q**段bc上運動，即2≤＜4時，q點
的縱座標為，pa=4-.這s=
②（ⅰ）當0＜≤2時，.
∵，∴ 當=2時，s有最大值，最大值s=.
（ⅱ）當2≤＜4時， ∵， ∴ s隨著的增大而減小.
∴ 當=2時，s有最大值，最大值.
綜合（ⅰ）（ⅱ），當=2時，s有最大值，最大值為. △pqa是等邊三角形
③ 存在. 當點q**段ab上運動時，要使得△pqa是直角三角形，必須使得∠pqa =90°，這時pa=2qa，即4-=2，∴. ∴ p、q兩點的座標分別為p1(,0)，q1(,).
當點q**段bc上運動時，q、p兩點的橫座標分別為5-和，要使得△pqa是直角三角形，則必須5-=，∴∴ p、q兩點的座標分別為p2(,0)，q2(,)
4、（1）由圖象可知公司從第4個月末以後開始扭虧為盈 （2）由圖象可知其頂點座標為(2,-2)，故可設其函式關係式為：y=a(t-2)2-2.∵ 所求函式關係式的圖象過(0,0)，於是得
a(t-2)2-2=0，解得a= . ∴ 所求函式關係式為：s=t-2)2-2或s=t2-2t.
（3）把s=30代入s=t-2)2-2，得t-2)2-2=30 解得t1=10，t2=-6（捨去
答：截止到10月末公司累積利潤可達30萬元. （4）把t=7代入關係式，得s=×72-2×7=10.5 把t=8代入關係式，得s=×82-2×8=16
16-10.5=5.5 答：第8個月公司所獲利是5.5萬元.
5、（1）∵ 拋物線頂點為f（1,0）
∴∵ 該拋線經過點e（0,1）∴
∴∴， 即函式關係式為
（2）① ∵ a點的座標為（,0）, ab=4，且點c、d在拋物線上，
∴ b、c、d點的座標分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2
②∴ 當=-1時，四邊形abcd的最小面積為16
此時ad=bc=ab=dc=4，四邊形abcd是正方形
③ 當四邊形abcd的面積最小時，四邊形abcd是正方形，其對角線bd上存在點p, 使得δpae的周長最小. ∵ae=4（定值），∴要使δpae的周長最小，只需pa+pe最小.
∵此時四邊形abcd是正方形，點a與點c關於bd所在直線對稱,
∴由幾何知識可知，p是直線ce與正方形abcd對角線bd的交點.
∵點e、b、c、d的座標分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）
∴直線bd，ec的函式關係式分別為：y=-x+3, y=2x-2. ∴ p(,)
在rt△ceb中，ce=,∴ △pae的最小周長=ae+ap+pe=ae+cp+pe=ae+ce=2+.
6、解：（1）c（2，－3）∴直線ac的函式解析式是y=－x－1
（2）設p點的橫座標為x（－1≤x≤2）則p、e的座標分別為：p（x，－x－1），（1分）
e（∵p點在e點的上方，pe=∴當時，pe的最大值=
（3）存在4個這樣的點f，分別是
7、解：（1）∴（2）頂點m的座標為過點m作mf軸於f∴=
∴四邊形aocm的面積為10 （3）①不存在de∥oc ∵若de∥oc，則點d、e應分別**段oa、ca上，此時 1設點e的座標為∴，∴ ∵de∥oc，
∴ ∴∵>2，不滿足1②根據題意得d、e兩點相遇的時間為
（秒） 現分情況討論如下：ⅰ當0 <≤ 1時，；
ⅱ當1<≤2時，設點e的座標為∴，∴
∴ⅲ當2 《時，設點e的座標為，類似ⅱ可得
設點d的座標為∴，∴
10、（1）∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad=bc
∵a(0,8),
∴設d點座標為(x1,8), 代入中， 得x1=±4.
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