(時間：40分鐘分值：50分)
1．(12分)(2015曲靖一中模擬)如圖，在矩形oabc中，oa＝5，ab＝4，點d為邊ab上一點，將△bcd沿直線cd摺疊，使點b落在oa邊上的點e處，分別以oc，oa所在的直線為x軸，y軸建立平面直角座標系．
(1)求oe的長及經過o，d，c三點的拋物線的解析式；
(2)一動點p從c出發，沿cb以每秒2個單位長的速度向點b運動，同時動點q從e點出發，沿ec以每秒1個單位的速度向點c運動，當點p到達點b時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，dp＝dq；
(3)若點n在(1)中的拋物線的對稱軸上，點m在拋物線上，是否存在這樣的點m與點n，使得以m，n，c，e為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出m點的座標；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵ce＝cb＝5，co＝ab＝4，∴在rt△coe中，oe＝＝＝3.設ad＝m，則de＝bd＝4－m.
∵oe＝3，∴ae＝5－3＝2.在rt△ade中，∵ad2＋ae2＝de2，∴m2＋22＝(4－m)2.∴m＝.
∴d(－，－5)，∵c(－4，0)，o(0，0)，∴設過o，d，c三點的拋物線為y＝ax(x＋4)，∴－5＝－a·(－＋4)，∴a＝，∴y＝x2＋x；(2)∵cp＝2t，∴bp＝5－2t，在rt△dbp和rt△deq中，∴rt△dbp≌rt△deq(hl)，∴bp＝eq，∴5－2t＝t，∴t＝；(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－2，∴設n(－2，n)，由題意知c(－4，0)，e(0，－3)，①若四邊形ecmn是平行四邊形，則m(－6，n＋3)，∴n＋3＝×(－6)2＋×(－6)＝16，∴m1(－6，16)．②若四邊形ecnm是平行四邊形，則m(2，n－3)，∴n－3＝×22＋×2＝16，∴m2(2，16)，③若四邊形emcn是平行四邊形，則m(－2，－n－3)，∴－n－3＝×(－2)2＋×(－2)＝－，∴m3(－2，－)，綜上所述，m點的座標為m1(－6，16)，m2(2，16)，m3(－2，－)
2．(12分)(2015昆明實驗中學模擬)邊長為2的正方形oabc在平面直角座標系中的位置如圖所示，點d是邊oa的中點，連線cd，點e在第一象限，且de⊥dc，de＝dc.以直線ab為對稱軸的拋物線過c、e兩點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點p從點c出發，沿射線cb以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點p作pf⊥cd於點f.當t為何值時，以點p，f，d為頂點的三角形與△cod相似？
(3)點m為直線ab上一動點，點n為拋物線上一動點，是否存在點m，n，使得以點m，n，d，e為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的座標；若不存在，請說明理由．
解：(1)過點e作eg⊥x軸於點g，∵四邊形oabc是邊長為2的正方形，d是oa的中點，∴oa＝oc＝2，od＝1，∠aoc＝∠dge＝90°，∵∠cde＝90°，∴∠odc＋∠gde＝90°，又∵∠odc＋∠ocd＝90°，∴∠ocd＝∠gde，∵dc＝de，∴△odc≌△ged(aas)，∴eg＝od＝1，dg＝oc＝2，∴點e的座標為(3，1)，又∵拋物線的對稱軸為直線ab，即直線x＝2，∴可設拋物線的解析式為y＝a(x－2)2＋k，由題意，得解這個方程組，得∴拋物線的解析式為y＝ (x－2)2＋；(2)①若△dfp∽△cod，則∠pdf＝∠dco，∴pd∥oc，∴∠pdo＝∠ocp＝∠aoc＝90°，∴四邊形pdoc為矩形，∴pc＝od＝1，∴t＝1.②若△pfd∽△cod，則∠dpf＝∠dco，＝，∴∠pcf＝90°－∠dco＝90°－∠dpf＝∠pdf，∴pc＝pd，∴df＝cd，∵cd2＝od2＋oc2＝22＋12＝5，∴cd＝，∴df＝，∵＝，∴pc＝pd＝×＝，∴t＝，所以，當t等於1或時，以點p、f、d為頂點的三角形與△cod相似；(3)存在，滿足條件的點有三組，座標分別為：
m1(2，1)，n1(4，2)；m2(2，3)，n2(0，2)；m3(2，)，n3(2，)．
3.(14分)(2015昆明中考)如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝ax2＋x＋c(a≠0)與x軸交於a、b兩點(點a在點b的右側)，與y軸交於點c，點a的座標為(4，0)，拋物線的對稱軸是直線x＝.
(1)求拋物線的解析式；
(2)m為第一象限內拋物線上的乙個點，過點m作mg⊥x軸於點g，交ac於點h，當線段cm＝ch時，求點m的座標；
(3)在(2)的條件下，將線段mg繞點g順時針旋轉乙個角α(0°＜α＜90°)，在旋轉過程中，設線段mg與拋物線交於點n，**段ga上是否存在點p，使得以p、n、g為頂點的三角形與△abc相似？如果存在，請求出點p的座標；如果不存在，請說明理由．
解：(1)解法一：∵x＝－＝，b＝，∴a＝－，把a(4，0)，a＝－代入y＝ax2＋x＋c得：
c＝2，∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋2，解法二：∵拋物線與x軸交於a、b兩點，a(4，0)，a、b兩點關於直線x＝成軸對稱，∴b(－1，0)，把a(4，0)，b(－1，0)分別代入y＝ax2＋x＋c得：
解得∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋2；(2)當x＝0時，y＝2，則c(0，2)，設直線ac的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，把a(4，0)，c(0，2)代入y＝kx＋b得：解得∴直線ac的解析式為y＝－x＋2，∵點m在拋物線上，點h在ac上，mg⊥x軸，設m點座標為(m，－ m2＋m＋2)，則h點座標為(m，－ m＋2)．∴mh＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m，如圖，連線cm，過點c作ce⊥mh於點e.
∵cm＝ch，oc＝ge＝2，∴mh＝2eh＝2[2－(－m＋2)]＝m，∴－m2＋2m＝m，m2－2m＝0，m1＝2，m2＝0(不符合題意，捨去)，當m＝2，y＝－m2＋m＋2＝3，∴m(2，3)；(3)存在點p，使以p、n、g為頂點的三角形與△abc相似，理由如下：∵拋物線與x軸交於a、b兩點，a(4，0)，a、b兩點關於直線x＝對稱，∴b(－1，0)，∵ac＝＝2，bc＝＝，ab＝5，在△abc中，ac2＋bc2＝(2)2＋()2＝25＝ab2，∴△abc是直角三角形，∠acb＝90°，線段mg繞g點旋轉過程中，與拋物線交於點n，當np⊥x軸時，∠npg＝90°，設p點座標為(n，0)，則n點的座標為(n，－ n2＋n＋2)，分兩種情況：①當＝時，∵∠n1p1g＝∠acb＝90°，∴△n1p1g∽△acb，∴＝，解得：
n1＝3，n2＝－4(不符合題意，捨去)，∴p1(3，0)．②當＝時，∵∠n2p2g＝∠bca＝90°.∴△n2p2g∽△bca，則＝，解得n1＝1＋，n2＝1－ (不符合題意，捨去)，∴p2(1＋，0)．綜上所述，存在點p1(3，0)和p2(1＋，0)使以p、n、g為頂點的三角形與△abc相似．
4．(12分)(2015曲靖中考)如圖，在平面直角座標系xoy中，直線l⊥y軸於點b(0，－2)，a為ob的中點，以a為頂點的拋物線y＝ax2＋c與x軸交於c、d兩點，且cd＝4.點p為拋物線上的乙個動點，以p為圓心，po為半徑畫圓．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若⊙p與y軸的另一交點為e，且oe＝2，求點p的座標；
(3)判斷直線l與⊙p的位置關係，並說明理由．
解：(1)∵a為ob的中點，b(0，－2)，∴a(0，－1)，∵拋物線y＝ax2＋c對稱軸為y軸，cd＝4，∴c(－2，0)，d(2，0)，把a(0，－1)、d(2，0)代入拋物線y＝ax2＋c得：，解之得，∴拋物線的解析式為y＝x2－1；(2)設點p(x，－1)，過p作pm⊥y軸於點m，則om＝oe＝1，∴|－1|＝1，∴－1＝1或－1＝－1，解之得x1＝2，x2＝－2，x3＝0，∴點p座標是p1(2，1)，p2(－2，1)，p3(0，－1)；
(3)直線l與⊙p相切，設點p(x，－1)，過p作pn⊥l於點n，交x軸於點q，在rt△poq中，po2＝x2＋(－1)2＝x2＋－＋1＝＋＋1，pn2＝[－1－(－2)]2＝＋＋1，∴pn＝po，∴直線l與⊙p相切．
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