壓軸題解題技巧練習
引言：解數學壓軸題一般可以分為三個步驟：認真審題，理解題意、**解題思路、正確解答。
審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點、結構，以利於解題方法的選擇和解題步驟的設計。解數學壓軸題要善於總結解數學壓軸題中所隱含的重要數學思想，如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想及方程的思想等。認識條件和結論之間的關係、圖形的幾何特徵與數、式的數量、結構特徵的關係，確定解題的思路和方法．當思維受阻時，要及時調整思路和方法，並重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯絡，既要防止鑽牛角尖，又要防止輕易放棄。
一、 動態：動點、動線
1．(2023年遼寧省錦州)如圖，拋物線與x軸交於a(x1，0)、b(x2，0)兩點，且x1＞x2，與y軸交於點c(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的兩個根．
(1)求這條拋物線的解析式；
(2)點p是線段ab上的動點，過點p作
pe∥ac，交bc於點e，連線cp，當△cpe
的面積最大時，求點p的座標；
(3)**：若點q是拋物線對稱軸上的點，
是否存在這樣的點q，使△qbc成為等腰三
角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的
點q的座標；若不存在，請說明理由．
二、 圓
2．（2010青海） 如圖10，已知點a（3，0），以a為圓心作⊙a與y軸切於原點，與x軸的另乙個交點為b，過b作⊙a的切線l.
（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點a及點c（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另乙個交點為d，過d作⊙a的切線de，e為切點，求此切線長；
（3）點f是切線de上的乙個動點，當△bfd與ead△相似時，求出bf的長 ．
3．(2023年中考天水)如圖1，在平面直角座標系xoy，二次函式y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象頂點為d，與y軸交於點c，與x軸交於點a、b，點a在原點的左側，點b的座標為(3，0)，ob＝oc，tan∠aco＝．
(1)求這個二次函式的解析式；
(2)若平行於x軸的直線與該拋物線交於點m、n，且以mn為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長度；
(3)如圖2，若點g(2，y)是該拋物線上一點，點p是直線ag下方的拋物線上的一動點，當點p運動到什麼位置時，△agp的面積最大？求此時點p的座標和△agp的最大面積．
4．（09年湖南省張家界市）在平面直角座標系中，已知a(－4，0)，b(1，0)，且以ab為直徑的圓交y軸的正半軸於點c，過點c作圓的切線交x軸於點d．
（1）求點c的座標和過a，b，c三點的拋物線的解析式；
（2）求點d的座標；
（3）設平行於x軸的直線交拋物線於e，f兩點，問：是否存在以線段ef為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑，若不存在，請說明理由．
四、比例比值取值範圍
5．（2023年懷化）圖9是二次函式的圖象，其頂點座標為m(1,-4).
（1）求出圖象與軸的交點a,b的座標；
（2）在二次函式的圖象上是否存在點p，使,若存在，求出p點的座標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
6． (湖南省長沙市2023年)如圖，在平面直角座標系中，矩形oabc的兩邊分別在x軸和y軸上， cm， oc=8cm，現有兩動點p、q分別從o、c同時出發，p**段oa上沿oa方向以每秒cm的速度勻速運動，q**段co上沿co方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．
（1）用t的式子表示△opq的面積s；
（2）求證：四邊形opbq的面積是乙個定值，並求出這個定值；
（3）當△opq與△pab和△qpb相似時，拋物線經過b、p兩點，過線段bp上一動點m作軸的平行線交拋物線於n，當線段mn的長取最大值時，求直線mn把四邊形opbq分成兩部分的面積之比．
7．（成都市2023年）在平面直角座標系中，拋物線與軸交於兩點（點在點的左側），與軸交於點，點的座標為，若將經過兩點的直線沿軸向下平移3個單位後恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線．
（1）求直線及拋物線的函式表示式；
（2）如果p是線段上一點，設、的面積分別為、，且，求點p的座標；
（3）設的半徑為l，圓心在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在與座標軸相切的情況？若存在，求出圓心的座標；若不存在，請說明理由．並**：若設⊙q的半徑為，圓心在拋物線上運動，則當取何值時，⊙q與兩坐軸同時相切？
五、**型
．8. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本題滿分10分）
如圖，直線交軸於a點，交軸於b點，過a、b兩點的拋物線交軸於另一點c（3,0）.⑴ 求拋物線的解析式;
⑵ 在拋物線的對稱軸上是否存在點q，使△abq是等腰三角形？
若存在，求出符合條件的q點座標；若不存在，請說明理由.
9．（09年重慶市）已知：如圖，在平面直角座標系xoy中，矩形oabc的邊oa在軸的正半軸上，oc在軸的正半軸上，oa＝2，oc＝3．過原點o作∠aoc的平分線交ab於點d，連線dc，過點d作de⊥dc，交oa於點e．
（1）求過點e、d、c的拋物線的解析式；
（2）將∠edc繞點d按順時針方向旋轉後，角的一邊與軸的正半軸交於點f，另一邊與線段oc交於點g．如果df與（1）中的拋物線交於另一點m，點m的橫座標為，那麼ef＝2go是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對於（2）中的點g，在位於第一象限內的該拋物線上是否存在點q，使得直線gq與ab的交點p與點c、g構成的△pcg是等腰三角形？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
10．（09年湖南省長沙市）如圖，拋物線y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)與x軸交於a(－3，0)、b兩點，與y軸相交於點c(0，)．當x＝－4和x＝2時，二次函式y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函式值y相等，鏈結ac、bc．
（1）求實數a，b，c的值；
（2）若點m、n同時從b點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿ba、bc邊運動，其中乙個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為t秒時，鏈結mn，將△bmn沿mn翻摺，b點恰好落在ac邊上的p處，求t的值及點p的座標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點q，使得以b，n，q為頂點的三角形與△abc相似？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
六、最值類11．(2023年恩施) 如圖11，在平面直角座標系中，二次函式的圖象與x軸交於a、b兩點， a點在原點的左側，b點的座標為（3，0），與y軸交於c（0，-3）點，點p是直線bc下方的拋物線上一動點.
（1）求這個二次函式的表示式．
（2）鏈結po、pc，並把△poc沿co翻摺，得到四
邊形popc， 那麼是否存在點p，使四邊形popc
為菱形？若存在，請求出此時點p的座標；若不存在
請說明理由．
（3）當點p運動到什麼位置時，四邊形 abpc的面積最大並求出此時p點的座標和四邊形abpc的最大面積.
12. （2011貴州安順，27，12分）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，且a（一1，0）．
⑴求拋物線的解析式及頂點d的座標；
⑵判斷△abc的形狀，證明你的結論；
⑶點m(m，0)是x軸上的乙個動點，當cm+dm的值最小時，求m的值．
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