一、二次函式與圓綜合
【例1】 已知：拋物線與軸相交於兩點，
且．（ⅰ）若，且為正整數，求拋物線的解析式；
（ⅱ）若，求的取值範圍；
（ⅲ）試判斷是否存在，使經過點和點的圓與軸相切於點，若存在，求出的值；若不存在，試說明理由；
（ⅳ）若直線過點，與（ⅰ）中的拋物線相交於兩點，且使，求直線的解析式．
【例2】 已知拋物線與y軸的交點為c，頂點為m，直線cm的解析式
並且線段cm的長為
（1）求拋物線的解析式。
（2）設拋物線與x軸有兩個交點a（x1 ，0）、b（x2 ，0），且點a在b的左側，求線段ab的長。
（3）若以ab為直徑作⊙n，請你判斷直線cm與⊙n的位置關係，並說明理由。
【例3】 已知：在平面直角座標系中，一次函式的圖象與軸交於點，拋物線經過，兩點．
⑴試用含的代數式表示；
⑵設拋物線的頂點為，以為圓心，為半徑的圓被軸分為劣弧和優弧兩部分．若將劣弧
沿軸翻折，翻摺後的劣弧落在⊙內，它所在的圓恰與相切，求⊙半徑的長及拋物線的
解析式；
⑶設點是滿足()中條件的優弧上的乙個動點，拋物線在軸上方的部分上是否存在這樣的點
，使得？若存在，求出點的座標；若不存在，說明理由．
【例4】 如圖，在平面直角座標系中，以點為圓心，半徑為的圓交軸正半軸於點，
是的切線．動點從點開始沿方向以每秒個單位長度的速度運動，點從點開始沿軸正方向以每秒個單位長度的速度運動，且動點、從點和點同時出發，設運動時間為(秒)．
⑴當時，得到、兩點，求經過、、三點的拋物線解析式及對稱軸；
⑵當為何值時，直線與相切？並寫出此時點和點的座標；
⑶在⑵的條件下，拋物線對稱軸上存在一點，使最小，求出點n的座標並說明理由．
【例5】 如圖，點，以點為圓心、為半徑的圓與軸交於點．已知拋物過點和，與軸交於點．
⑴ 求點的座標，並畫出拋物線的大致圖象．
⑵ 點在拋物線上，點為此拋物線對稱軸上乙個動點，求最小值．
⑶是過點的的切線，點是切點，求所在直線的解析式．
【例6】 在平面直角座標系中，已知直線經過點和點，直線的函式表示式為，與相交於點．是乙個動圓，圓心在直線上運動，設圓心的橫座標是．過點作軸，垂足是點．
⑴ 填空：直線的函式表示式是 ，交點的座標是 ，的度數是 ；
⑵ 當和直線相切時，請證明點到直線的距離等於的半徑，並寫出時的值．
⑶ 當和直線不相離時，已知的半徑，記四邊形的面積為(其中點是直線與的交點)．是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的值；若不存在，請說明理由．
【例7】 已知二次函式圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函式的圖象與
二次函式的圖象交於兩點(在的左側)，且點座標為．平行於軸的直線過點．
⑴ 求一次函式與二次函式的解析式；
⑵ 判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關係，並給出證明；
⑶ 把二次函式的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函式的圖象與軸交於兩點，一次函式圖象交軸於點．當為何值時，過三點的圓的面積最小？最小面積是多少？
【例8】 如圖1，的半徑為，正方形頂點座標為，頂點在上運動．
⑴ 當點運動到與點、在同一條直線上時，試證明直線與相切；
⑵ 當直線與相切時，求所在直線對應的函式關係式；
⑶ 設點的橫座標為，正方形的面積為，求與之間的函式關係式，並求出的最大值與最小值．
【例9】 如圖，已知點從出發，以個單位長度/秒的速度沿軸向正方向運動，以為頂點作菱形，使點在第一象限內，且；以為圓心，為半徑作圓．設點運動了秒，求：
⑴ 點的座標（用含的代數式表示）；
⑵ 當點在運動過程中，所有使與菱形的邊所在直線相切的的值．
【例10】 已知：拋物線，頂點，與軸交於、兩點，．
⑴ 求這條拋物線的解析式．
⑵ 如圖，以為直徑作圓，與拋物線交於點，與拋物線對稱軸交於點，依次連線、、、，點為線段上乙個動點(與、兩點不重合)，過點作於，於，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
⑶ 在⑵的條件下，若點是線段上一點，過點作，分別與邊、相交於點、(與、不重合，與、不重合)，請判斷是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
【例11】 如圖，已知點的座標是，點的座標是，以為直徑作，交軸的負半軸於點，連線、，過、、三點作拋物線．
⑴ 求拋物線的解析式；
⑵ 點是延長線上一點，的平分線交於點，鏈結，求直線的解析式；
⑶ 在⑵的條件下，拋物線上是否存在點，使得？如果存在，請求出點的座標；如果不存在，請說明理由．
【例12】 已知：如圖，拋物線與軸交於兩點，與軸交於點，
⑴ 求的值及拋物線頂點座標；
⑵ 過的三點的交軸於另一點，鏈結並延長交於點，過點的的切線分別交軸、軸於點，求直線的解析式；
⑶ 在條件⑵下，設為上的動點(不與重合)，鏈結交軸於點，問是否存在乙個常數，始終滿足，如果存在，請寫出求解過程；如果不存在，請說明理由．
【例13】 已知二次函式的圖象經過點，並與軸交於點和點，頂點為．
⑴ 求這個二次函式的解析式，並在直角座標系中畫出該二次函式的圖象；
⑵ 設為線段上的一點，滿足，求點的座標；
⑶ 在軸上是否存在一點，使以為圓心的圓與所在的直線及軸都相切？如果存在，請求出點的座標；若不存在，請說明理由．
【例14】 已知⊙的半徑為，以為原點，建立如圖所示的直角座標系．有乙個正方形，頂點的座標為，頂點在軸上方，頂點在⊙上運動．
⑴ 當點運動到與點、在一條直線上時，與⊙相切嗎？如果相切，請說明理由，並求出所在直線對應的函式表示式；如果不相切，也請說明理由；
⑵ 設點的橫座標為，正方形的面積為，求出與的函式關係式，並求出的最大值和最小值．
【例15】 如圖，將置於平面直角座標系中，其中點為座標原點，點的座標為，．
⑴ 若的外接圓與軸交於點，求點座標．
⑵ 若點的座標為，試猜想過的直線與的外接圓的位置關係，並加以說明．
⑶ 二次函式的圖象經過點和且頂點在圓上，求此函式的解析式．
【例16】 如圖，直角座標系中，已知兩點，，點在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸於點，過點的圓的切線交軸於點．
⑴ 求兩點的座標；
⑵ 求直線的函式解析式；
⑶ 設分別是線段上的兩個動點，且平分四邊形的周長．試**：的最大面積？
5 2二次函式與梯形綜合 題庫學生版
一 二次函式與梯形綜合 例1 如圖，已知拋物線經過點，拋物線的頂點為，過作射線 過頂點平行於軸的直線交射線於點，在軸正半軸上，鏈結 1 求該拋物線的解析式 2 若動點從點出發，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點運動的時間為 問當為何值時，四邊形分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？3 若，動點...
二次函式綜合題型學生版
1 已知 拋物線y ax2 bx c a 0 的對稱軸為x 1，與x軸交於a，b兩點，與y軸交於點c，其中a 3，0 c 0，2 1 求這條拋物線的函式表示式 2 已知在對稱軸上存在一點p，使得 pbc的周長最小 請求出點p的座標 3 若點d是線段oc上的乙個動點 不與點o 點c重合 過點d作de ...
5 3二次函式與圓綜合 講義學生版
一 二次函式與圓綜合 例1 如圖，點，以點為圓心 為半徑的圓與軸交於點 已知拋物過點和，與軸交於點 求點的座標，並畫出拋物線的大致圖象 點在拋物線上，點為此拋物線對稱軸上乙個動點，求最小值 是過點的的切線，點是切點，求所在直線的解析式 鞏固 已知拋物線與y軸的交點為c，頂點為m，直線cm的解析式 並...