一、二次函式與一元二次方程的聯絡
1. 直線與拋物線的交點
（1） 軸與拋物線得交點為.
（2） 與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點.
（3） 拋物線與軸的交點:二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4） 平行於軸的直線與拋物線的交點．可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5） 拋物線與軸兩交點之間的距離．若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
2. 二次函式常用的解題方法
（1） 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
（2） 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
（3） 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
（4） 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
（5） 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函式；以時為例，二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡如下：
3. 二次函式與一元二次方程根的分布（選講）
所謂一元二次方程，實質就是其相應二次函式的零點（圖象與軸的交點問題），因此，二次方程的實根分布問題，即二次方程的實根在什麼區間內的問題，借助於二次函式及其圖象利用數形結合的方法來研究是非常有益的．
設的二實根為，，，，且是預先給定的兩個實數．
（1） 當兩根都在區間內，方程係數所滿足的充要條件：
∵，對應的二次函式的圖象有下列兩種情形：
當時的充要條件是：，，，．
當時的充要條件是：，，，．
兩種情形合併後的充要條件是：
①（2） 當兩根中有且僅有一根在區間內，方程係數所滿足的充要條件；
∵或，對應的函式的圖象有下列四種情形：
從四種情形得充要條件是：
②（3） 當兩根都不在區間內方程係數所滿足的充要條件：
當兩根分別在區間的兩旁時；
∵對應的函式的圖象有下列兩種情形：
當時的充要條件是：，．
當時充要條件是：，．
兩種情形合併後的充要條件是：
，③當兩根分別在區間之外的同側時：
∵或，對應函式的圖象有下列四種情形：
當時的充要條件是：
，，④當時的充要條件是：
，，⑤（3）區間根定理
如果在區間上有，則至少存在乙個，使得．
此定理即為區間根定理，又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時候會發揮巨大的威力．
一、二次函式與方程、不等式綜合
【例1】 已知二次函式，且方程與有相同的非零實根．
（1）求的值；
（2）若，解方程.
【例2】 已知二次函式，當自變數取時，其相應的函式值小於，那麼下列結論中正確的是（ ）
.的函式值小於的函式值大於
.的函式值等於的函式值與的大小關係不確定
【例3】 小明、小亮、小梅、小花四人共同**代數式的值的情況．他們作了如下分工：小明負責找值為時的值，小亮負責找值為0時的值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值．幾分鐘後，各自通報**的結論，其中錯誤的是（ ）
小明認為只有當時，的值為.
小亮認為找不到實數，使的值為.
小梅發現的值隨的變化而變化，因此認為沒有最小值
小花發現當取大於的實數時，的值隨的增大而增大，因此認為沒有最大值.
【例4】 已知關於的一元二次方程有實數根，為正整數.
（1）求的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關於的二次函式的圖象向下平移8個單位，求平移後的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移後的二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
【例5】 已知函式，，為方程的兩個根，點在函式的圖象上．
（1）若，求函式的解析式；
（2）在（1）的條件下，若函式與的圖象的兩個交點為，當的面積為時，求的值；
（3）若，當時，試確定三者之間的大小關係，並說明理由．
【例6】 已知方程的兩個實根乙個小於，乙個大於，求的取值範圍．
【例7】 已知方程的兩根均大於，求的關係式．
【例8】 設二次方程有一根比大，另一根比小，試確定實數的範圍．
【例9】 若二次方程在區間內僅有較大實根，另一根不等於，求的取值範圍．
【例10】 已知方程有兩個實數根，並且．證明：
（1）；
（2）．
【例11】 若的二次方程，因為方程的解都位於的範圍中，求正整數的
值．【例12】 設有整係數二次函式，其影象開口方向朝上，且與軸有兩個交點，分別在
、內，且的判別式等於，試求的值．
【例13】 已知方程有兩個大於的實根，求的取值範圍．
【例14】 若關於的二次方程的兩根、滿足，求實數的取值範圍．
【例15】 方程有兩實根，且兩根都大於，證明．
【例16】 已知方程的兩實根為、，方程的兩實根為、．
（1）若、均為負整數，且，求、的值；
（2）若，，求證：．
【例17】 設是實數，二次方程的乙個根屬於區間，另乙個根屬於區間，求的取值範圍．
【例18】 已知、均為正整數，若關於的方程的兩個實數根都大於且小於，求、的值．
【例19】 實數在什麼範圍內取值時，關於的方程的乙個根大於而小於，另乙個根大於而小於？
【例20】 已知方程有兩個不同實根，求證：方程至少有乙個根，在前乙個方程的兩根之間．（此處）
【例21】 試證：若實數滿足條件，這裡時正數，那麼方程有乙個根介於和之間．
【例22】 閱讀材料，解答問題．
例：用圖象法解一元二次不等式：．
解：設，則是的二次函式．
∵，∴拋物線開口向上．
又∵當時，，解得．
∴由此得拋物線的大致圖象如圖所示．
觀察函式圖象可知：當或時，．
∴的解集是或．
（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是
（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：．
【例23】 閱讀下列內容後，解答下列各題：
幾個不等於的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．
例如：考查代數式的值與的大小
當時，，∴
當時，，∴
當時，，∴
綜上：當時，；當或時，
（1）填寫下表：（用「」或「」填入空格處）
（2）由上表可知，當滿足時，；
（3）運用你發現的規律，直接寫出當滿足時，．
【例24】 如圖所示，拋物線與軸的兩個交點分別為和，當時，的取值範圍是
【例25】 如下右圖是拋物線的一部分，其對稱軸為直線，若其與軸一交點為，則由圖象可知，不等式的解集是
【例26】 解不等式：．
【例27】 對於滿足的所有實數，求使不等式成立的的取值範圍．
【例28】 已知二次函式
（1）求證：不論為任何實數，這個函式的圖象與軸總有交點，
（2）為何實數時，這兩個交點間的距離最小？這個最小距離是多少？
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