1.已知二次函式，不等式的解集為．
(ⅰ)若方程有兩個相等的實根，求的解析式；
(ⅱ)若的最大值為正數，求實數的取值範圍．
2：已知二次函式f(x)=ax2+bx(a,b是常數且a≠0)滿足條件f(2)=0且方程f(x)=x有等根.
（1）求f(x)的解析式.
（2）問是否存在實數m,n(m3.已知函式（）.
（1）若的定義域和值域均是，求實數的值；
（2）若在區間上是減函式，且對任意的， ，總有
，求實數a的取值範圍.
4.設為實數，函式.
（1）若，求a的取值範圍；
（2）（2）求的最小值；
（3）（3）設函式,，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
6.設f（x）=x2－2ax+2.當x∈［－1，+∞）時，f（x）≥a恆成立，求實數a的取值範圍.
7.對於函式f（x），若存在x0∈r，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點.已知函式f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.
（1）當a=1，b=－2時，求f（x）的不動點；
（2）若對於任意實數b，函式f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值範圍.
8.已知二次函式f (x)=ax2+x.(1)若對於任意m,nr,有f()[f(m)+ f(n)]成立，求實數a的取值範圍;(2)若時，有，試求實數a的取值範圍.
9.已知a≥1/2，f（x）=－a2x2+ax+c.
（1）如果對任意x∈［0，1］，總有f（x）≤1成立, 證明c≤3/4;
（2）已知關於x的二次方程f（x）=0有兩個不等實根，，且，求實數c的取值範圍
10. 設函式求證：
（1）；
（2）函式在區間（0，2）內至少有乙個零點；
（3）設是函式的兩個零點，則
11.設函式f（x）=x2+|x－2|－1，x∈r.
（1）判斷函式f（x）的奇偶性；
（2）求函式f（x）的最小值.
12.已知二次函式.
（1）若，試判斷函式零點個數；
(2)若對且，，試證明，使成立；
(3)是否存在，使同時滿足以下條件 ①對，，且y∈[0,+∞）；②對，都有. 若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
13.已知二次函式f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均為實數),滿足a-b+c=0，對於任意實數x 都有f (x)-x≥0，並且當x∈（0，2）時,有f (x)≤.
（1）求f (1)的值；
（2）證明：ac≥；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函式f(x)=f (x)-mx (m為實數)是單調的，求證：m≤或m≥.
15.設函式f(x)=ax2+bx+c，a、b、c都是正實數，且f(1)=1.
(ⅰ)若x＞0，證明：f(x)·f()≥1；
(ⅱ)若正實數x1、x2、x3滿足x1·x2·x3=1，證明：f(x1)·f(x2)·f(x3)≥1.
16.對於函式，若存在實數，使成立，則稱為的不動點．
⑴當a＝2，b＝－2時，求的不動點；
⑵若對於任何實數b，函式恒有兩相異的不動點，求實數a的取值範圍；
⑶在⑵的條件下，若的圖象上a、b兩點的橫座標是函式的不動點，且直線是線段ab的垂直平分線，求實數b的取值範圍．
17.對於函式f(x)，若存在x0∈r，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函式
f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．
⑴若x1<1⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值範圍．
19.已知，若在區間上的最大值為，最小值為，令．
（1）求的函式表示式；
（2）判斷的單調性，並求出的最小值．
20.已知關於的函式
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）令若存在實數，使得同時成立，求的最大
21.設、．
（1）若在上不單調，求的取值範圍；
（2）若對一切恆成立，求證：；
（3）若對一切，有，且的最大值為1，求、滿足的條件．
22..設二次函式,方程
的兩根滿足
(1) 當時,證明
(2) 設函式的圖象關於對稱,證明.
23.設函式＝ｘ2+8x+3 (<0),對於給定的負數，有乙個最大的正數，使得在整個區間［０，］上，不等式｜｜≤５都成立。問為何值時最大？求出這個最大的，證明你的結論。
24.設二次函式，方程的兩根和滿足．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）試比較與的大小．並說明理由．
25.已知f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，x∈[-1,1] 且∣f(x)∣≤1 ,求證：(1)∣g(x)∣≤2 (2)當a>0時 g(x)的最大值為2，求f(x).
26.已知函式f(x)=x2+bx+c，方程f(x)=x的兩個實根為x1,x2，且x2-x1>2.
(1)求證：x1,x2為方程f(f(x))=x的兩個根.
(2)若四次方程f(f(x))=x的另兩個根為x3,x4，且x3>x4，試判斷x1,x2,x3,x4的大小.
27．設函式f(x)=x2+px+q(p,q∈r). (1)若q=2，求使不等式f(x)<2的解集a滿足(0,2)a(0,10)的p的範圍；
(2)當p在(1)的範圍內變化時，是否存在實數對(p,q)，使不等式|f(x)|>2在區間[1,5]上無解.
28.對於函式f（x），若存在，使成立，則稱點為函式f（x）的不動點。
（1） 已知函式
（2） 若對於任意的實數b，函式
（3） 若定義在實數集r上的奇函式g（x ）存在n（有限）個不動點，求證：n必為奇數.
29..二次函式f（x）=px2+qx+r中實數p、q、r滿足++=0，其中m＞0，
求證：（1）pf（）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內恆有解.
30. 設，若，，, 試證明：對於任意，有.
二次函式經典綜合題答案
1、解：（ⅰ）∵不等式的解集為
∴和是方程的兩根
又方程有兩個相等的實根
∴∴∴∴或（舍
（ⅱ）由（ⅰ）知 ∵，∴的最大值為 ∵的最大值為正數
∴∴解得或
∴所求實數的取值範圍是 -
2. 解：(1) 依題設方程 ax2+(b-1)x=0有等根，∴(b-1)2=0 得 b=1.
又 f(2)=0，即 4a+2b=0，得，所以，.
(2)由(1), ∴，即.
而拋物線f(x)的對稱軸為x=1，則f(x)在[m,n]上為增函式，
（2）問是否存在實數m,n(m設m,n存在，可得：即，得，又，得.故存在實數m=-2,n=0，使f(x)的定義域為[-2,0]值域為[-4,0].
3. 【解】∵（）,∴在上是減函式，
又定義域和值域均為，∴， 即 ， 解得.
(ii) ∵在區間上是減函式，∴，
又，且，
∴，.∵對任意的， ，總有，∴，
即，解得， 又， ∴.
4. 【解析】（1）若，則
（2）當時，
當時，綜上(3)時，得，
當時，；
當時，得
1）時，
2）時，
3）時，
6. 解：（1）當a≤－1時，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立
f（x）min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此時－3≤a≤－1.
（2）當a＞－1時，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立f（x）min≥a，即2－a2≥aa2+a－2≤0－2≤a≤1.故此時－1＜a≤1.
由（1）（2）知，當－3≤a≤1時，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立.
已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值為g (t)，求g (t)的表示式。
解：f (x)= (x-1)2+1
(1)當t+1<1即t<0時，g(t)=f(t+1)=t2+1
(2)當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g (t)=f (1)=1
(3)當t>1時，g(t)=f (t)=t2-2t+2
綜合（1）、（2）、（3）得：
7. 解：（1）當a=1，b=－2時，f（x）=x2－x－3=xx2－2x－3=0（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，∴f（x）的不動點為x=3或x=－1.
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點對任意實數b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有兩個不等實根對任意實數b，δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恆成立對任意實數b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恆成立δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0（1－4a）2－（1+4a）＜04a2－3a＜0a（4a－3）＜00＜a＜.
8. （1）a>0
(2) （ⅱ）由|f(x)|≤1等價於-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1(*),而x∈[0,1],
(1) 當x=0時,a≠0, (*)式顯然成立;
(2) 當x∈時, (*)式化為在x∈上恆成立．
設t=,則有-t2-t≤a≤t2-t,所以只須
又a≠0,故得到－２≤x<0．a的取值範圍是．
9. 【解】（1）f（x）=－a2（x－）2+c+，
∵a≥，∴∈（0，1，∴x∈（0，1時，［f（x）］max=c+，
∵f（x）≤1，則［f（x）］max=c+≤1，即c≤，
∴對任意x∈［0，1］，總有f（x）≤1成立時，可得c≤.
（2）∵a≥，∴>0
又拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在［0，內，
所求實數c的取值範圍為
10. 證明：（1）
又又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b
∵a＞0
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c
①當c＞0時，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函式f（x）在區間（0，1）內至少有乙個零點
②當c≤0時，∵a＞0
∴函式f（x）在區間（1，2）內至少有乙個零點.
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