二次函式綜合題
一、複習回顧：
用待定係數法求二次函式的解析式的3種常用方法：
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標（，0）、（，0），通常選用交點式：.
二、精講精練：
[二次函式與幾何圖形綜合題型]
例1.二次函式的圖象如圖1，點a0位於座標原點，點 a1，a2在y軸的正半軸上，點b1，b2在
二次函式位於第一象限的圖象上，若△a0b1a1，△a1b2a2都為等邊三角形， 則△a1b2a2的邊長
abc．2d．3
練習：1.二次函式的圖象如圖2，點a0位於座標原點，a1，a2，a3，…，a2016在y軸的正半軸上，點b1，b2，b3，…b2016在函式位於第一象限的影象上，若△a0b1a1，△a1b2a2，△a2b3a3，…，
△a2015b2016a2016都為等邊三角形，則△a2015b2016a2016的邊長為.
反思總結1：等邊三角形△an-1bnan的邊長為
2.二次函式的圖象如圖2，點a0位於座標原點，a1，a2，a3，…，a2016在y軸的正半軸上，點b1，b2，b3，…b2016在函式位於第一象限的影象上，若△a0b1a1，△a1b2a2，△a2b3a3，…，
△a2015b2016a2016都為等邊三角形，則△a2015b2016a2016的邊長為.
反思總結2：等邊三角形△an-1bnan的邊長為
拓展延伸：
1.二次函式的圖象如圖3，點a0位於座標原點，點a1，a2，a3，…，an在y軸的正半軸上，點b1，b2，b3，…bn在二次函式位於第一象限的圖象上，點c1，c2，c3…cn在二次函式位於第二象限的圖象上，四邊形a0b1a1c1，四邊形a1b2a2c2，四邊形a2b3a3c3…四邊形an-1bnancn都是菱形，∠a0b1a1
=∠a1b2a2=∠a2b3a3…=∠an-1bnan=60°，菱形an-1bnancn的周長為
2.二次函式的圖象如圖3，點a0位於座標原點，點a1，a2，a3，…，an在y軸的正半軸上，點b1，b2，b3，…bn在二次函式位於第一象限的圖象上，點c1，c2，c3…cn在二次函式位於第二象限的圖象上，四邊形a0b1a1c1，四邊形a1b2a2c2，四邊形a2b3a3c3…四邊形an-1bnancn都是菱形，∠a0b1a1
=∠a1b2a2=∠a2b3a3…=∠an-1bnan=60°，菱形an-1bnancn的周長為
[二次函式與軸對稱知識綜合題型]
例2．如圖，已知二次函式的圖象與座標軸交於a、b、c三點，其中點a的座標是
（-1， 0）和點b的座標是（0，-5）．
（1）求該二次函式的解析式；
（2）已知該函式圖象的對稱軸上存在一點p，使得△abp的周長最小，請求出點p的座標．
練習：1. 如圖，在邊長為4的正方形abcd中，e是ab邊上的一點，且ae=3，點q為對角線ac上的動點，則△beq周長的最小值為
第2題圖第3題圖
2. 如圖，在平面直角座標系中，已知正方形abcd的邊長為3，點e在ab邊上，且be=1，點p、q分別是邊bc，cd上的動點（均不與頂點重合），當四邊形aepq的周長取最小值時，則點p、q的座標分別為
3．已知拋物線與x軸交於點a（，0），b（，0），與y軸的交點c（0，2），
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸為 ，與y軸的交點為c，頂點為d，點c關於的對稱點為e，是否存在x軸上的點m，y軸上的點n，使四邊形dnme的周長最小？若存在，請畫出圖形，並求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
[二次函式與直線綜合題型]
例3.如圖，函式y=x－3的圖象分別交x軸、y軸於點a、b，點c的座標為（–1，0）．一條拋物線經過a、b、c三點．
（1）求拋物線所對應的函式關係式；
（2）設點d是線段ab上的動點，過點d作y軸的平行線交拋物線於點e，求線段de長度的最大值．
練習：1.如圖，函式y= x－3的圖象分別交x軸、y軸於點a、b，點c座標為（–1，0）．一條拋物線經過
a、b、c三點．
（1）求拋物線所對應的函式關係式；
（2）若點p為第四象限內拋物線上的一動點，設△pab的面積為s，求s的最大值並求此時點p的座標；
（3）如圖2，設拋物線的頂點為d，de⊥x軸於點e，在y軸上是否存在點m，使得△adm是直角三角形？若存在，請求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
2．如圖，拋物線過x軸上兩點a(9 ，0) ，c(-3，0)，且與y軸交於點b(0，-12).
求拋物線的解析式；
若動點p從點a出發，以每秒2個單位沿射線ac方向運動；同時，點q從點b出發，以每秒1個單位沿射線ba方向運動，當點p到達點c處時，兩點同時停止運動.問當t為何值時，△apq∽△aob？
若m為線段ab上乙個動點，過點m作mn平行於y軸交拋物線於點n．
①是否存在這樣的點m，使得四邊形omnb恰為平行四邊形？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
②當點m運動到何處時，四邊形cbna的面積最大？求出此時點m的座標及四邊形cbna面積的最大值．
3．如圖，拋物線與軸交於點a(－1，0)、b(3，0)，與軸交於點c(0，3)．
(1)求拋物線的解析式及頂點d的座標；
(2)若p為線段bd上的乙個動點，點p的橫座標為m，試用含m的代數式表示點p的縱座標；
(3)過點p作pm⊥x軸於點m，求四邊形pmac的面積的最大值和此時點p的座標；
4．已知二次函式圖象頂點為c（1，0），直線 y=x+m 與該二次函式交於a，b兩點，其中a點（3，4），b點在y軸上．
（1）求m值及這個二次函式關係式；
（2）p為線段ab上一動點（p不與a，b重合），過p做x軸垂線與二次函式交於點e，設線段pe長為h，點p橫座標為x，求h與x之間的函式關係式，並寫出自變數x取值範圍
（3）d為線段ab與二次函式對稱軸的交點，在ab上是否存在一點p，使四邊形dcep為平行四邊形？若存在，請求出p點座標； 若不存在，請說明理由。
5.如圖，在平面直角座標系中，頂點為（-2，-1）的拋物線交y軸於點a（0,3），交x軸於點b、c兩點，點p是拋物線上位於b、c兩點之間的乙個動點。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當p點運動到什麼位置時，四邊形abpc的面積最大？並求出此時四邊形abpc的面積；
（3）過點b作ab的垂線交拋物線於點d.四邊形abpd的面積是否也存在最大值，若存在，求出最大面積；
若不存在，請說明理由。備用圖
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