第一講全等三角形的性質及判定
【例1】 如圖，，，．求證：．
【補充】如圖所示：，．求證：．
【例2】 已知：如圖，、、、四點在同一條直線上，，，．求證：．
【補充】已知：如圖，，，求證：．
【補充】如圖，在梯形中，，為中點，鏈結並延長交的延長線於點．求證：．
【例3】 如圖，相交於點，，、為上兩點，，．求證：．
【補充】已知，如圖，，，，求證：．
【例4】 如圖，，垂足分別為，試說明
【例10】 如圖所示， 已知，，，證明：．
【例11】 、分別是正方形的、邊上的點，且．求證：．
【補充】、、分別是正方形的、、邊上的點，，．求證：．
【例12】 在凸五邊形中，，，，為中點．求證：．
【補充】如圖所示：，，，．求證：．
【例13】 （1）如圖，△abc的邊ab、ac為邊分別向外作正方形abde和正方形acfg，鏈結eg，試判
斷△abc與△aeg面積之間的關係，並說明理由.
（2）園林小路，曲徑通幽，如圖所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是a平方公尺，內圈的所有三角形的面積之和是b平方公尺，這條小路一共占地多少平方公尺？
【例14】 如圖，中，，，是上一點，且，交於點．求證：．
【例15】 中，，為上一點，使得，為上一點，使得，連、交於點．試求的度數，並寫出你的推理證明的過程．
【例16】 如圖，是的內心，且．若，求和的大小．
【例17】 已知：是的高，點在的延長線上，，點在上，，求證：⑴；⑵．
【例18】 ⑴ 如左下圖，在矩形中，為延長線上一點且，為的中點．求證：．
⑵ 如右下圖，在中，、分別為邊、的高，為的中點，於．求證：．
18.補充：如圖，已知，且．求證：是等腰三角形．
【例19】 如圖，為邊長是的等邊三角形，為頂角是的等腰三角形，以為頂點作乙個角，角的兩邊分別交於，於，連線，形成乙個．求的周長．
【習題1】 已知：如圖，，，． 求證：．
【習題2】 已知：△def≌△mnp，且ef＝np，∠f＝∠p，∠d＝48°，∠e＝52°，mn＝12cm，求：∠p的度數及de的長.
【習題3】如圖，矩形中，是上一點，交於點，若，矩形周長為，且，求的長．
【習題4】在四邊形中，，的平分線交於．求證：當是的角平分線時，有．
【備選1】 如圖所示：，，、相交於點．求證：平分．
【備選2】 如圖所示，在中，於點，．求證：．
【備選3】 如圖，△abc中，d是bc的中點，過d點的直線gf交ac於f，交ac的平行線bg於g點，de⊥df，交ab於點e，鏈結eg、ef.
（1）求證：bg＝cf.
（2）請你判斷be+cf與ef的大小關係，並說明理由.
第二講全等三角形與中點問題
版塊一倍長中線
【例1】 在△中，，則邊上的中線的長的取值範圍是什麼？
【補充】已知：中，是中線．求證：．
【例2】 已知：如圖，梯形中，，點是的中點，的延長線與的延長線相交於點．求證：．
【例3】 如圖，在中，是邊的中點，，分別是及其延長線上的點，．求證：．
【例4】 如圖，中，，是中線．求證：．
【例5】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，延長交於，，求證：．
【例6】 如圖所示，在和中，、分別是、上的中線，且，，，求證．
【例7】 如圖，在中，交於點，點是中點，交的延長線於點，交於點，若，求證：為的角平分線．
【例8】 已知為的中線，，的平分線分別交於、交於．求證：．
【例9】 在中，，點為的中點，點、分別為、上的點，且．以線段、、為邊能否構成乙個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？
【例10】 已知△abc，∠b=∠c，d，e分別是ab及ac延長線上的一點，且bd=ce，連線de交底bc於g，求證gd=ge．
【例11】 如圖所示，在中，是的中點，垂直於，如果，求證．(勾股定理的內容，選做)
【例10】 在中，是斜邊的中點，、分別在邊、上，滿足．若，，則線段的長度為
【習題1】 如圖，在等腰中，，是的中點，過作，，且．
求證：．
【習題2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交於，與相等嗎？為什麼？
【習題3】 如右下圖，在中，若，，為邊的中點．求證：．
【備選1】如圖，已知ab=dc，ad=bc，o是bd中點，過o點的直線分別交da、bc的延長線於e，f．
求證：∠e=∠f
【備選2】如圖，中，，，是中點，，與交於，與交於．求證：，．
第三講全等三角形與角平分線問題
【例1】 在中，為邊上的點，已知，，求證：．
【例2】 已知中，，、分別是及平分線．求證：．
【例3】 如圖，在中，，、分別平分、，且與的交點為．求證：．
【例4】 如圖，已知的周長是，，分別平分和，於，且，求的面積．
【補充】如圖所示：，，、相交於點．求證：平分．
【例5】 已知中，，、分別平分和，、交於點，試判斷、、的數量關係，並加以證明．
【例6】 如圖，已知是上的一點，又，．求證：．
【例7】 如圖所示，是和的平分線，，．求證：．
【例8】 如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．求證：∥
【例10】 如圖，在四邊形中，平分，過作，並且，則等於多少？
【補充】長方形abcd中，ab=4，bc=7，∠bad的角平分線交bc於點e，ef⊥ed交ab於f，則ef
【補充】在中，，是的平分線．是上任意一點．求證：．
【例11】 如圖，在中，，的平分線交與．求證：．
【例12】 如圖，中，，，平分交於點．求證：．
【鞏固】已知等腰，，的平分線交於，則．
【例13】 如圖所示，在中，平分，，於，求證．
【例14】 如圖，中，，、分別為兩底角的外角平分線，於，於．求證：．
【例15】 如圖，，平分，平分，點在上．
1 **線段、和之間的等量關係．
2 **線段與之間的位置關係．
【習題2】如圖，在中，，的平分線交與．求證：．
【習題3】是的角平分線，交的延長線於，交於．求證：．
【習題4】如圖所示，ad平行於bc，，，ad=4，bc=2，那麼ab
【習題5】中，為中點，交的平分線於點，於於．求證：．
【備選1】在中，平分，．求的值．
【備選2】如圖，已知在中，，，．求證：．
【備選3】如圖所示，在四邊形中，，的平分線交於，求證：當是的平分線時，有．
第四講全等三角形與旋轉問題
【例1】 已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形．（1）求證：．
（2）求證：cd=ce
(3) 求證：cf平分∠mcn
（4） 求證：de∥ab
【例2】 如圖，四邊形、都是正方形，連線、．求證：．
【例3】 如圖，等邊三角形與等邊共頂點於點．求證：．
【例4】 如圖，是等邊內的一點，且，，，問的度數是否一定，若一定，求它的度數；若不一定，說明理由．
【例5】 如圖，等腰直角三角形中，，，為中點，．求證：為定值．
【補充】如圖，正方形繞正方形中點旋轉，其交點為、，求證：．
【例6】 (2004河北)如圖，已知點是正方形的邊上一點，點是的延長線上一點，且． 求證：．
【補充】如圖所示，在四邊形中，，，於，若四邊形的面積是16，求的長．
【例7】 、分別是正方形的邊、上的點，且，，為垂足，求證：．
【鞏固】如圖，正方形的邊長為，點**段上運動，平分交邊於點．
⑴求證：．
⑵設()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時的值及．若不存在，請說明理由．
【補充】(1)如圖，在四邊形abcd中，ab＝ad，∠b＝∠d＝，e、f分別是邊bc、cd上的點，且∠eaf=∠bad．求證：ef＝befd;
(2) 如圖，在四邊形abcd中，ab＝ad，∠b+∠d＝，e、f分別是邊bc、cd上的點，且∠eaf=∠bad， (1)中的結論是否仍然成立？不用證明．
【習題1】 如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線上，試說明與相等的理由．
【習題2】 (湖北省黃岡市2023年初中畢業生公升學考試)已知：如圖，點是正方形的邊上任意一點，過點作交的延長線於點．求證：．
【習題3】 在梯形中，，，，，，是中點，試判斷與的位置關係，並寫出推理過程．
【習題4】 已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形．、分別是、的高．求證：．
【備選1】 在等腰直角中，，，是的中點，點從出發向運動， 交於點，試說明的形狀和面積將如何變化．
【備選2】 如圖，正方形中，．求證：．
【備選3】 等邊和等邊的邊長均為1，是上異於的任意一點，是上一點，滿足，當移動時，試判斷的形狀．
第五講軸對稱和等腰三角形
【例1】 在中，，．求．
【補充】在中，，，．求．
【例2】 的兩邊和的垂直平分線分別交於、，若，求．
【例3】 如圖，點是等邊內一點，，．將繞點按順時針方向旋轉得，連線，則是等邊三角形；當為多少度時，是等腰三角形？
【例4】 如圖，在中，，在上，，在上取一點，使得，求的度數．
【例5】 如圖，為等邊三角形，延長到，又延長到，使，連線，求證：為等腰三角形．
【例6】 如圖，在中，，為銳角，分別為邊、、上的點，滿足，，且．求證：．
板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應用
【例7】 已知點在直線外，點為直線上的乙個動點，**是否存在乙個定點，當點在直線上運動時，點與、兩點的距離總相等，如果存在，請作出定點；若不存在，請說明理由．
【例8】 如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現需要建一貨物中轉站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉站應建在公路旁的哪個位置比較合理？
【例9】 如圖，，角內有點，在角的兩邊有兩點、(均不同於點)，求作、，使得的周長的最小．
【補充】如圖，、為的邊、上的兩個定點，在上求一點，使的周長最短．
【例10】 已知如圖，點在銳角的內部，在邊上求作一點，使點到點的距離與點到的邊的距離和最小．
【補充】已知：、兩點在直線的同側， 在上求作一點，使得最小．
【補充】已知：、兩點在直線的同側，在上求作一點，使得最大．
【例11】 如圖，正方形中，，是上的一點，且，是上的一動點，求的最小值與最大值．
【補充】例題中的條件不變，求的最小值與最大值．
【補充】如圖，已知正方形的邊長為8，在上，且，是上的乙個動點，則的最小值是
【習題1】 (2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則第三邊長為
【習題2】 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成和兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為( )
a． b． c．或 d．無法確定
【習題3】 已知等腰三角形的周長為20，腰長為，求的取值範圍．
全等三角形習題
全等三角形專項練習 常見輔助線的作法有以下幾種 1 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用 三線合一 的性質解題，思維模式是全等變換中的 對折 2 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 旋轉 3 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的...
全等三角形複習題經典
全等三角形綜合複習 切記 有三個角對應相等 和 有兩邊及其中一邊的對角對應相等 的兩個三角形不一定全等。例1.如圖，四點共線，求證 例2.如圖，在中，是 abc的平分線，垂足為。求證 例3.如圖，在中，為延長線上一點，點在上，連線和。求證 例4.如圖，求證 例5.如圖，分別是外角和的平分線，它們交於...
全等三角形證明經典
中考數學專練三角形的專題 1.已知 ab 4，ac 2，d是bc中點，ad是整數，求ad 1.已知 d是ab中點，acb 90 求證 2.已知 bc de，b e，c d，f是cd中點，求證 1 2 3.已知 1 2，cd de，ef ab，求證 ef ac 4.已知 ad平分 bac，ac ab ...