1.已知二次函式，不等式的解集為．
(ⅰ)若方程有兩個相等的實根，求的解析式；
(ⅱ)若的最大值為正數，求實數的取值範圍．
1、解：（ⅰ）∵不等式的解集為
∴和是方程的兩根
又方程有兩個相等的實根
∴∴∴或（舍
（ⅱ）由（ⅰ）知
∵，∴的最大值為
∵的最大值為正數
∴∴解得或
∴所求實數的取值範圍是 -
2：已知二次函式f(x)=ax2+bx(a,b是常數且a≠0)滿足條件f(2)=0且方程f(x)=x有等根.
（1）求f(x)的解析式.
（2）問是否存在實數m,n(m解：(1) 依題設方程 ax2+(b-1)x=0有等根，
∴(b-1)2=0 得 b=1.
又 f(2)=0，即 4a+2b=0，得 ，
所以，.
(2)由(1) , ∴ ，即.
而拋物線f(x)的對稱軸為x=1，則f(x)在[m,n]上為增函式，
（2）問是否存在實數m,n(m設m,n存在，可得：
即 ，得，
又 ，得 .
故存在實數m=-2,n=0，使f(x)的定義域為[-2,0]值域為[-4,0].
3.已知函式（）.
（1）若的定義域和值域均是，求實數的值；
（2）若在區間上是減函式，且對任意的，，總有
，求實數a的取值範圍.
【解】∵（）,
∴在上是減函式，
又定義域和值域均為，∴ ，
即 ， 解得 .
(ii) ∵在區間上是減函式，∴，
又，且，
∴，.∵對任意的，，總有，
∴，即 ，解得 ，
又， ∴.
4.設為實數，函式.
（1）若，求a的取值範圍；
（2）（2）求的最小值；
（3）（3）設函式,，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
【解析】（1）若，則
（2）當時，
當時，綜上(3) 時，得，
當時，；
當時，得
1）時，
2）時，
3）時，
5.已知二次函式f(x)=ax2+bx+c和一次函式g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈r)。
(1)求證：兩函式的圖象交於不同的兩點a、b；
(2)求線段ab在x軸上的射影a1b1的長的取值範圍。
證明(1) 由消去y得ax2+2bx+c=0
δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)
=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴δ>0,即兩函式的圖象交於不同的兩點。
解(2) 設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則
x1+x2=－,x1x2=。|a1b1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的對稱軸方程是
∈(－2,－)時，為減函式
∴|a1b1|2∈(3,12),故|a1b1|∈()
6.設f（x）=x2－2ax+2.當x∈［－1，+∞）時，f（x）≥a恆成立，求實數a的取值範圍.
解：（1）當a≤－1時，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立
f（x）min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此時－3≤a≤－1.
（2）當a＞－1時，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立f（x）min≥a，即2－a2≥aa2+a－2≤0－2≤a≤1.故此時－1＜a≤1.
由（1）（2）知，當－3≤a≤1時，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立.
已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值為g (t)，求g (t)的表示式。
解：f (x)= (x-1)2+1
(1)當t+1<1即t<0時，g(t)=f(t+1)=t2+1
(2)當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g (t)=f (1)=1
(3)當t>1時，g(t)=f (t)=t2-2t+2
綜合（1）、（2）、（3）得：
7.對於函式f（x），若存在x0∈r，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點.已知函式f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.
（1）當a=1，b=－2時，求f（x）的不動點；
（2）若對於任意實數b，函式f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值範圍.
解：（1）當a=1，b=－2時，f（x）=x2－x－3=xx2－2x－3=0（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，∴f（x）的不動點為x=3或x=－1.
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點對任意實數b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有兩個不等實根對任意實數b，δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恆成立對任意實數b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恆成立δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0（1－4a）2－（1+4a）＜04a2－3a＜0a（4a－3）＜00＜a＜.
8.已知二次函式f (x)=ax2+x.(1)若對於任意m,nr,有f()[f(m)+ f(n)]成立，求實數a的取值範圍;(2)若時，有，試求實數a的取值範圍.
（1）a>0
(2) （ⅱ）由|f(x)|≤1等價於-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1(*),而x∈[0,1],
(1) 當x=0時,a≠0, (*)式顯然成立;
(2) 當x∈時, (*)式化為在x∈上恆成立．
設t=,則有-t2-t≤a≤t2-t,所以只須
又a≠0,故得到－２≤x<0．
綜上所述，a的取值範圍是．
9.已知a≥1/2，f（x）=－a2x2+ax+c.
（1）如果對任意x∈［0，1］，總有f（x）≤1成立, 證明c≤3/4;
（2）已知關於x的二次方程f（x）=0有兩個不等實根，，且，求實數c的取值範圍
【解】（1）f（x）=－a2（x－）2+c+，
∵a≥，∴∈（0，1，
∴x∈（0，1時，［f（x）］max=c+，
∵f（x）≤1，則［f（x）］max=c+≤1，即c≤，
∴對任意x∈［0，1］，總有f（x）≤1成立時，可得c≤.
（2）∵a≥，∴>0
又拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在［0，內，
所求實數c的取值範圍為
10. 設函式求證：
（1）；
（2）函式在區間（0，2）內至少有乙個零點；
（3）設是函式的兩個零點，則
證明：（1）
又又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b
∵a＞0
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c
①當c＞0時，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函式f（x）在區間（0，1）內至少有乙個零點
②當c≤0時，∵a＞0
∴函式f（x）在區間（1，2）內至少有乙個零點.
綜合①②得f（x）在（0，2）內至少有乙個零點
（3）∵x1，x2是函式f（x）的兩個零點
則的兩根
∴11.設函式f（x）=x2+|x－2|－1，x∈r.
（1）判斷函式f（x）的奇偶性；
（2）求函式f（x）的最小值.
解：（1）f（x）=
∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是r上的奇函式.
∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1），
∴f（x）不是偶函式.
故f（x）是非奇非偶的函式.
（2）當x≥2時，f（x）=x2+x－3，此時f（x）min=f（2）=3.
當x＜2時，f（x）=x2－x+1，此時f（x）min=f（）=.
總之，f（x）min=.
12.已知二次函式.
（1）若，試判斷函式零點個數；
(2)若對且，，試證明，使成立；
(3)是否存在，使同時滿足以下條件 ①對，，且y∈[0,+∞）；②對，都有. 若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
解（1）∵，∴ ，故
，當時，函式有乙個零點；
當時，，函式有兩個零點。
（2）令，
則∴ （），
∴ 在內必有乙個實根，即，使成立
（3） 假設存在，由①知拋物線的對稱軸為，且，
∴，，∴ ，，從而
由②知對，都有,
令得, ∴ ,即, ∴
由得,，
當,時，，其頂點為滿足條件①，又對，都有滿足條件②.
∴存在，使同時滿足條件①、②.
解法2：假設存在，由①知拋物線的對稱軸為，且，
∴，，∴ ，，從而，
，都有,
對恆成立， ①
對恆成立,
②所以：,，∴存在，使同時滿足條件①、②.
13.已知二次函式f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均為實數),滿足a-b+c=0，對於任意實數x 都有f (x)-x≥0，並且當x∈（0，2）時,有f (x)≤.
（1）求f (1)的值；
（2）證明：ac≥；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函式f(x)=f (x)-mx (m為實數)是單調的，求證：m≤或m≥.
.解：（1）∵對於任意x∈r，都有f (x)-x≥0,且當x∈(0,2)時,
有f (x) ≤.令x=1
∴1≤f (1) ≤.
即f (1)=1
（2） 由a-b+c=0及f (1)=1.
有,可得b=a+c=.
又對任意x,f(x)-x≥0,即ax2-x+c≥0.
∴a＞0且△≤0.
即-4ac≤0,解得ac≥.
（3） 由(2)可知a＞0,c＞0.
a+c≥2≥2·=.
二次函式函式經典綜合題
1.已知二次函式，不等式的解集為 若方程有兩個相等的實根，求的解析式 若的最大值為正數，求實數的取值範圍 2 已知二次函式f x ax2 bx a,b是常數且a 0 滿足條件f 2 0且方程f x x有等根.1 求f x 的解析式.2 問是否存在實數m,n m3.已知函式 1 若的定義域和值域均是，...
二次函式綜合題經典習題含答案
二次函式綜合題訓練 1 如圖2，已知二次函式的影象經過點a和點b 1 求該二次函式的表示式 2 寫出該拋物線的對稱軸及頂點座標 3 點p m，m 與點q均在該函式影象上 其中m 0 且這兩點關於拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點q 到x軸的距離 2 如圖1，已知二次函式圖象的頂點座標為c 1,0 直線...
專題複習二次函式綜合題
2015中考數學專題複習2 二次函式綜合題 1 已知拋物線的對稱軸為與軸 交於a b兩點，與軸交於點c，其中a 3,0 c 0，2 1 求這條拋物線的函式表示式 2 已知在對稱軸上存在一點p，使得 pbc的周長最小，請求出點p 的座標 3 在拋物線的對稱軸上是否存在點m，使 bm cm 的值最大，求...