2014高考理科數學必考點解題方法秘籍：解析幾何3
題1.點，點f是橢圓的右焦點，點p（6，2），那麼3|mf|-|mp|的最大值是 ，此時點m的座標是 .
解在橢圓中，，則，所以橢圓的右焦點f的座標
為（1，0），離心率，右準線，顯然點p（6，2）在橢圓的外部.過點p、m分別作pg⊥於g，md⊥於d，過點p作pq⊥md於q，由橢圓的定義知，3|mf|-|mp|=|md|-|mp|≤|md|-|mq|=|qd|=|pg|=9-6=3，當且僅當點p位於線段md上，即點p與q點重合時取等號.由點p位於線段md上，md⊥及點p（6，2），知點m的縱座標為2，設m的橫座標為，即m（，2），則有，解得，因此3|mf|-|mp|的最大值是3，此時點m的座標是（，2）.
評析若設點m的座標為(x,y)，則可將3|mf|-|mp|表示成x、y的二元無理函式，然後再求其最大值，可想而知，這是一件相當麻煩的事，運用橢圓的定義，將3|mf|-|mp|轉化為||md|-|mp|，就把無理運算轉化為有理運算，從而大大簡化了解題過程.
拓展將此題引伸拓廣，可得
定理 m是橢圓e：上的動點，f是橢圓e的乙個焦點，為橢圓e的半焦距，p（m,n）為定點.
若點p在橢圓e內，則當f是右焦點時，|mf|+|mp|的最小值是；當f是左焦
點時，|mf|+|mp|的最小值是.
若點p在橢圓e外，則
f是右焦點，且0≤m≤，|n|≤b時，|mf|-|mp|的最大值是.
f是右焦點，且m>，|n|≤b時，|mp|-|mf|的最小值是.
f是左焦點，且≤m≤0，|n|≤b時，|mf|-|mp|的最大值是.
f是左焦點，且m≤，|n|≤b時，|mp|-|mf|的最小值是.
簡證 1、如圖1，作mn⊥右準線l於n，pq⊥l於q，由橢圓定義，|mn|=|mf|.
∴|mf|+|mp|=|mn|+|mp|≥|pq|=，當且僅當p、m、q三點共線，且m在p、q之間時取等號.如圖2，同理可證|mf|+|mp||=|mn|+|mp|≥|pq|=，當且僅當p、m、q三點共線，且m在p、q之間時取等號.
如圖3，|mf|-|mp|=|mn|-|mp|≤|mn|-|mr|=|rn|=|pq|=，當且僅當p位於線段mn上，即p與r重合時取等號.
如圖4，|mp|-|mf|=|mp|-|mn|≥|mq|-|mn|=|nq|=，當且僅當p位於直線mn上，即點p與q重合時取等號.
如圖5，|mf|-|mp|=|mn|-|mp|≤|mn|-|mr|=|rn|=|pq|=，當且僅當p位於線段mn上，即p與r重合時取等號.
如圖6，|mp|-|mf|=|mp|-|mn|≥|mq|-|mn|=|nq|=，當且僅當p位於直線mn上，即點p與q重合時取等號.
題2 已知雙曲線關於直線x-y=1對稱的曲線與直線x+2y=1相切，則k的值等於
abcd
（第十五屆高二培訓題第19題）
解設點p（x0,y0）是雙曲線上任意一點，點p關於直線x-y=1的對稱點為
p』（x,y）,則 ①，又②，解①、②聯立方程組得
③.∵p點在雙曲線上，∴ ④.③代入④，得 ⑤，此即對稱曲線的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤並整理，得.由題意，△=4-12（k-1）=0，解得k=，故選b.
評析解決此題的關鍵是求出對稱曲線的方程.由於對稱曲線與直線相切，故由△=0便可求得k的值.
拓展關於直線的對稱，我們應熟知下面的
結論 1、點（x0,y0）關於x軸的對稱點是（x0,-y0）.
2、點（x0,y0）關於y軸的對稱點是（-x0, y0）.
3、點（x0,y0）關於y=x的對稱點是（y0,x0）.
4、點（x0,y0）關於y=-x的對稱點是（-y0,-x0）.
5、點（x0,y0）關於y=x+m的對稱點是（y0-m,x0+m）.
6、點（x0,y0）關於y=-x+n的對稱點是（n-y0,n-x0）.
7、點（x0,y0）關於直線ax+by+c=0的對稱點是（x,y），x,y是方程組
的解. 根據以上結論，不難得到一曲線關於某直線對稱的曲線的方程，比如曲線f(x,y)=0關於直線y=x+m對稱的曲線的方程是f(y-m,x+m)=0.
3. 是雙曲線的左、右焦點，兩點在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值是
（第四屆高二第二試第15題）
解雙曲線,即，如圖，在雙曲線右支上，,
,故當取得最小值時，也取最小值.設是雙曲線對應於的準線，,垂足為，則由雙曲線定義可知，而，其中是梯形的中位線，當時，取最小值，這時，取得最小值,從而取最小值.
評析解決此題的關鍵是靈活運用雙曲線的第
一、第二定義，發現，即，亦即最小時，也最小，並能知道時最小（這點請讀者自己證明）.本題雖然也有其他解法，但都不如此法簡單，雙曲線定義及平幾知識的運用在簡化本題解題過程中起了決定性的作用.
拓展將本題中的雙曲線一般化，便得
定理 、是雙曲線的左、右焦點，兩點在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值是.
仿照本題的解法易證該定理（證明留給讀者）.
用此定理可知本題中的最小值為.
題4. 方程表示的曲線是
a、直線 b、橢圓 c、雙曲線 d、拋物線
第十二屆高二培訓題第23題）
解法1 由的兩邊平方並整理得
.令，則
，整理得，
即，故已知方程表示雙曲線，選c.
解法2 已知方程就是，由雙曲線的第二定義，可知動點p到定點（2，2）的距離與到定直線的距離比為，因為，所以選c.
評析根據選擇支，可知解決本題的關鍵是將已知方程化為某二次曲線的標準方程或直線方程.顯然，平方可去掉根號與絕對值符號，但卻出現了乘積項.如何消去乘積項便成了問題的關鍵.
解法1表明對稱換元是消去乘積項的有效方法.
解法2從已知方程的結構特徵聯想到兩點距離公式與點線距離公式，發現方程表示的曲線是到定點（2，2）的距離與到定直線的距離之比為的動點的軌跡，根據雙曲線定義選c.顯示了發現與聯想在解題中的作用.
拓展將此題一般化，我們有下面的
定理若（為常數，且不全為零），則
（1）當時，方程表示為乙個焦點，直線為相應準線的橢圓.
（2）當時，方程表示為乙個焦點，直線為相應準線的雙曲線.
（3）當且時，方程表示過點且與直線垂直的直線.
（4）當且時，方程表示為焦點，直線為準線的拋物線.
讀者可仿照解法2，運用二次曲線的第二定義自己證明該定理.
題 5. 已知，則動點a與點b（1，0）的距離的最小值是
（第七屆高二第一試第23題）
解法1 由已知得
將此式看作以為自變數的二次函式，,這表明該二次函式的定義域是.該函式在上是增函式，當時，.
解法 2 令，則
當，即時，.
解法 3 設 （t）,兩式平方並相減，得即動點a的軌跡是雙曲線的右半支在x軸上方的部分（含點（2，0）），由圖知|ab|min=1.
評析所求距離|ab|顯然是x的函式，然而它是乙個複雜的分式函式與無理函式的復合函式，在定義域上的最小值並不好求，解法1根據|ab|≥0，通過平方，先求，再求|ab|min=，並將看作乙個整體，將原問題化為求二次函式在上的最值問題；解法2通過三角換元，把求|ab|min的問題轉化為求關於的二次函式在的最小值問題，整體思想、轉化思想使得問題化繁為簡，化生為熟；解法3則求出點a的軌跡，從圖形上直觀地看出答案，簡捷得讓人拍案叫絕，這應當歸功於數形結合思想的確當運用.許多最值問題，一旦轉化為圖形，往往答案就在眼前.
題6.拋物線上到直線的距離最小的點的座標是
（第九屆高二培訓題第27題）
解法1 設拋物線上的點的座標是，則它到直線的距離是
，當時最小，此時.故所求點的座標是.
解法2 如圖，將直線平移至與拋物線相切，則此時的切點即為所求點.設切線方程為，代入，得.由，即，得.解得.故所求點的座標是.
解法3 設所求點的座標為p，則過點p的拋物線的切線應與直線平行.而其切線方程為，故，.. 故所求點的座標為.
評析解法1由點線距離公式將拋物線上的任意一點到直線的距離表示成的二次函式，再通過配方求最值，體現了函式思想在解析幾何中的運用.
解法2運用數形結合思想發現與直線平行的拋物線的切線的切點就是所求點，設切線方程為後運用方程思想求出，進而求出切點座標.
解法3則設切點為p，直接寫出過二次曲線上一點p的切線方程，由切線與已知直線平行.兩斜率相等，求出切點座標.
解法2、3不僅適用於求拋物線上到直線的距離最小的點的座標，同樣也適用於求橢圓、雙曲線上到直線的距離最小的點的座標，故為通法.
解法3涉及到過拋物線上一點的拋物線的切線方程，下面用導數證明一般情形的結論：
定理過拋物線上一點p的切線方程是
.證明設過點p的拋物線的切線的方程為①.
，，代入①得，
，②.點在拋物線上，，，代入②，得切線方程為.
拓展觀察切線方程的特徵，就是同時將曲線方程中的分別換成，，把分別換成便得切線方程.事實上，對於一般二次曲線，有下面的定理.
定理過二次曲線上一點ρ的該曲線的切線方程是.
運用該定理必須注意點ρ在曲線上.
例求過點的曲線的切線的方程.
解經驗證，點在曲線上，根據上面的定理，所求切線方程為，即.
題7 在拋物線上恒有兩點關於直線對稱,則的取值範圍是 .
第十五屆高二培訓題第71題)
解法1 設兩點b、c關於直線對稱，直線bc的方程為
，將其代入拋物線方程，得.若設bc的中點為m，則.因為m在直線上，所以
.，因為bc與拋物線相交於兩個不同點，所以.再將的式子代入，經化簡得，即
，因為，所以.
解法2 由解法1，得，.因為，所以，解得.
解法3 設b、c是拋物線上關於直線對稱的兩點，且bc中點為m.因為，所以，即，所以.又,所以,因為m在拋物線的內部，所以，即，解得.
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