2014高考理科數學必考點解題方法秘籍：二項式定理1
1．二項式定理： ，
2．基本概念： ①二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。
②二項式係數:展開式中各項的係數.
③項數：共項，是關於與的齊次多項式
④通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。
3．注意關鍵點： ①項數：展開式中總共有項。
②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改。與是不同的。
③指數：的指數從逐項減到，是降冪排列。的指數從逐項減到，是公升冪排列。各項的次數和等於.
④係數：注意正確區分二項式係數與項的係數，二項式係數依次是項的係數
是與的係數（包括二項式係數）。
4．常用的結論：令
令 5．性質：
①二項式係數的對稱性：與首末兩端「對距離」的兩個二項式係數相等，即，···
②二項式係數和：令,則二項式係數的和為，
變形式。
③奇數項的二項式係數和=偶數項的二項式係數和：
在二項式定理中，令，則，
從而得到：
④奇數項的係數和與偶數項的係數和：
⑤二項式係數的最大項：如果二項式的冪指數是偶數時，則中間一項的二項式係數取得最大值。
如果二項式的冪指數是奇數時，則中間兩項的二項式係數,同時取得最大值。
⑥係數的最大項：求展開式中最大的項，一般採用待定係數法。設展開式中各項係數分別
為，設第項係數最大，應有，從而解出來。
高考試題中常見的二項式定理題目型別：
題型一：二項式定理的逆用；
1：解：與已知的有一些差距， 練：
解：設，則
題型二：求單一二項式指定冪的係數
2（2010重慶）的展開式中的係數為
（a）4 （b）6 （c）10 （d）20
解析：由通項公式得
3（2011天津）在的二項展開式中，的係數為
abcd． 【答案】c
4（2011湖北）的展開式中含的項的係數為結果用數值表示）【答案】17
5（2011全國）（1—）20的二項展開式中，x的係數與x9的係數之差為答案】0
6（安徽理12）設，則答案】0
7（2009北京卷文）若為有理數），則
a．33b． 29c．23d．19
【解析】本題主要考查二項式定理及其展開式. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
∵，由已知，得，∴.故選b.
8（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,則b
【解析】因為∴ .解得
9（2009全國卷ⅰ文）的展開式中，的係數與的係數之和等於
解: 因所以有
10(2009湖南卷理)在的展開式中，的係數為___7__(用數字作答)
【解析】由條件易知展開式中項的係數分別是，即所求係數是
11（2009陝西卷文）若,則的值為
（a）2b）0cd)
解析:由題意容易發現,則
, 同理可以得出,………
亦即前2008項和為0, 則原式== 故選c.
題型三：求兩個二項式乘積的展開式指定冪的係數
12（廣東理10）的展開式中，的係數是用數字作答）
【答案】84
13（2011全國）的展開式中各項係數的和為2，則該展開式中常數項為
（a）—40 （b）—20 （c）20 （d）40 【答案】d
14（2010全國卷1文數）(5)的展開式的係數是
(a)-6 (b)-3 (c)0 (d)3
a. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應用，以及能否區分展開式中項的係數與其二項式係數，同時也考查了考生的一些基本運算能力.
【解析】 的係數是 -12+6=-6
15（2010全國卷1）(5)的展開式中x的係數是
(a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4
題型四：求可化為二項式的三項展開式中指定冪的係數
16（04安徽改編）的展開式中，常數項是 ；
解：上述式子展開後常數項只有一項，即
本小題主要考查把「三項式」的問題通過轉化變型後，用二項式定理的知識解決，
17（2009江西卷理）展開式中不含的項的係數絕對值的和為，不含的項的係數絕對值的和為，則的值可能為
ab．cd．【解析】，，則可取，選d
題型五：求中間項
18．（00北京）求（的展開式的中間項；
解：展開式的中間項為即：。
當為奇數時，的展開式的中間項是和；
當為偶數時，的展開式的中間項是
題型六：利用通項公式求常數項；
19（2011全國8）的展開式中各項係數的和為2，則該展開式中常數項為
（a）—40 （b）—20 （c）20 （d）40 【答案】d
20（2011陝西4）（x∈r）展開式中的常數項是
a．-20 b．－15 c．15 d．20 【答案】c
21（2011山東）若展開式的常數項為60，則常數的值為答案】4
22（2011浙江）設二項式（x-）6（a>0）的展開式中x的係數為a,常數項為b，
若b=4a，則a的值是 。【答案】2
題型七：利用通項公式，再討論而確定有理數項；
23（00北京）求的展開式中有理項共有項；
解：當時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。
當乙個代數式各個字母的指數都是整數時，那麼這個代數式是有理式；
當乙個代數式中各個字母的指數不都是整數（或說是不可約分數）時，那麼這個代數式是無理式。
題型八：利用「賦值法」及二項式性質3求部分項係數，二項式係數和
24（2010江西理數）6. 展開式中不含項的係數的和為（ ）
a.-1 b.0 c.1 d.2
【答案】b
【解析】考查對二項式定理和二項展開式的性質，重點考查實踐意識和創新能力，體現正難則反。採用賦值法，令x=1得：係數和為1，減去項係數即為所求，答案為0.
25（99全國）若，
則的值為 ；
解：令，有，
令，有故原式=
==26．（04天津）若，
則 ；
解：， 令，有
令，有故原式==
在用「賦值法」求值時，要找準待求代數式與已知條件的聯絡，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。
27．設，
則 ；
分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內的數的符號；第二步是用賦值法求的化簡後的代數式的值。
解：0題型八：求係數最大或最小項
特殊的係數最大或最小問題
28．（00上海）在二項式的展開式中，係數最小的項的係數是 ；
解：要使項的係數最小，則必為奇數，且使為最大，由此得，從而可知最小項的係數為
一般的係數最大或最小問題
29．求展開式中係數最大的項；
解：記第項係數為，設第項係數最大，則有
又，那麼有
即解得，係數最大的項為第3項和第4項。
係數絕對值最大的項
30．在（的展開式中，係數絕對值最大項是 ；
解：求係數絕對最大問題都可以將「」型轉化為型來處理，
故此答案為第4項，和第5項。
題型九：利用二項式定理求近似值
31．求的近似值，使誤差小於；
分析：因為=，故可以用二項式定理展開計算。
解：==
，且第3項以後的絕對值都小於，
從第3項起，以後的項都可以忽略不計。
==小結：由，當的絕對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的範圍內可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取捨，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。
利用二項式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現題目，但是按照新課標要求，對高中學生的計算能力是有一定的要求，其中比較重要的乙個能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項式定理來求近似值。
題型十：利用二項式定理證明整除問題
32．（02濰坊模擬）求證：能被7整除。
證明：49p+（）
又7+1）
7q（q）
能被7整除。
在利用二項式定理處理整除問題時，要巧妙地將非標準的二項式問題化歸到二
項式定理的情境上來，變形要有一定的目的性，要湊出相關的因數。
二項式定理高考試題的難度一般處於中擋，掌握好上述常規的二項式定理題目的解題方法，無疑對我們後續知識的學習，以及將來的高考吃了一顆制勝的定心丸。
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