導數應用的題型與方法
一．複習目標：
1．了解導數的概念，能利用導數定義求導數．掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念．
2．熟記基本導數公式（c,x (m為有理數)，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導數）。掌握兩個函式四則運算的求導法則和復合函式的求導法則，會求某些簡單函式的導數，利能夠用導數求單調區間，求乙個函式的最大(小)值的問題，掌握導數的基本應用．
3．了解函式的和、差、積的求導法則的推導，掌握兩個函式的商的求導法則。能正確運用函式的和、差、積的求導法則及已有的導數公式求某些簡單函式的導數。
4．了解復合函式的概念。會將乙個函式的復合過程進行分解或將幾個函式進行復合。掌握復合函式的求導法則，並會用法則解決一些簡單問題。
二．考試要求：
⑴了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念。
⑵熟記基本導數公式（c,x (m為有理數)，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的導數）。掌握兩個函式四則運算的求導法則和復合函式的求導法則，會求某些簡單函式的導數。
⑶了解可導函式的單調性與其導數的關係，了解可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函式）的最大值和最小值。
三．教學過程：
（ⅰ）基礎知識詳析
導數是微積分的初步知識，是研究函式，解決實際問題的有力工具。在高中階段對於導數的學習，主要是以下幾個方面:
1．導數的常規問題：
（1）刻畫函式（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯絡（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於次多項式的導數問題屬於較難型別。
2．關於函式特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函式圖象的混合問題是一種重要型別，也是高考中考察綜合能力的乙個方向，應引起注意。
4．曲線的切線
在初中學過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點．圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當的．如圖3—1中的曲線c是我們熟知的正弦曲線y=sinx．直線與曲線c有惟一公共點m，但我們不能說直線與曲線c相切；而直線儘管與曲線c有不止乙個公共點，我們還是說直線是曲線c在點n處的切線．因此，對於一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義．所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線．
5．瞬時速度
在高一物理學習直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運動物體經過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然後從實際測量速度出發，結合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明．物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具後，本節教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度．
6．導數的定義
導數定義與求導數的方法是本節的重點，推導導數運算法則與某些導數公式時，都是以此為依據．
對導數的定義，我們應注意以下三點：
(1)△x是自變數x在處的增量(或改變量)．
(2)導數定義中還包含了可導或可微的概念，如果△x→0時，有極限，那麼函式y=f(x)在點處可導或可微，才能得到f(x)在點處的導數．
(3)如果函式y=f(x)在點處可導，那麼函式y=f(x)在點處連續(由連續函式定義可知)．反之不一定成立．例如函式y=|x|在點x=0處連續，但不可導．
由導數定義求導數，是求導數的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：
(1)求函式的增量；
(2)求平均變化率；
(3)取極限，得導數。
7．導數的幾何意義
函式y=f(x)在點處的導數，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率．由此，可以利用導數求曲線的切線方程．具體求法分兩步：
(1)求出函式y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；
(2)在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為
特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行於y軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為
8．和（或差）的導數
對於函式的導數，如何求呢？我們不妨先利用導數的定義來求。
我們不難發現，即兩函式和的導數等於這兩函式的導數的和。
由此我們猜測在一般情況下結論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函式的和（或差）的求導法則。
9．積的導數
兩個函式的積的求導法則的證明是本節的乙個難點，證明過程中變形的關鍵是依據導數定義的結構形式。（具體過程見課本p120）
說明：（1）；
（2）若c為常數，則(cu) ′=cu′。
10．商的導數
兩個函式的商的求導法則，課本中未加證明，只要求記住並能運用就可以。現補充證明如下：
設因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，於是△x→0時，v(x+△x)→v(x)，從而即。
說明：（12）
學習了函式的和、差、積、商的求導法則後，由常函式、冪函式及正、余弦函式經加、減、乘、除運算得到的簡單的函式，均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求。
11. 導數與函式的單調性的關係
㈠與為增函式的關係。
能推出為增函式，但反之不一定。如函式在上單調遞增，但，∴是為增函式的充分不必要條件。
㈡時，與為增函式的關係。
若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函式，就一定有。∴當時，是為增函式的充分必要條件。
㈢與為增函式的關係。
為增函式，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函式在某個區間內恒有，則為常數，函式不具有單調性。∴是為增函式的必要不充分條件。
函式的單調性是函式一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關係，用導數判斷好函式的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
㈣單調區間的求解過程，已知
（1）分析的定義域； （2）求導數
（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間
（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間
我們在應用導數判斷函式的單調性時一定要搞清以下三個關係，才能準確無誤地判斷函式的單調性。以下以增函式為例作簡單的分析，前提條件都是函式在某個區間內可導。
㈤函式單調區間的合併
函式單調區間的合併主要依據是函式在單調遞增，在單調遞增，又知函式在處連續，因此在單調遞增。同理減區間的合併也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函式連續，則二區間就可以合併為以個區間。
（1）恆成立 ∴為上
∴ 對任意不等式恆成立
（2）恆成立 ∴在上
∴ 對任意不等式恆成立
㈥注意事項
1．導數概念的理解．
2．利用導數判別可導函式的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復合函式的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過例項，引出復合函式的求導法則，接下來對法則進行了證明。
對於復合函式，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復合函式加以直觀定義，使我們對復合函式的的概念有乙個初步的認識，再結合以後的例題、習題就可以逐步了解復合函式的概念。
3．要能正確求導，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函式的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函式的求導法則。
（2）對於乙個復合函式，一定要理清中間的復合關係，弄清各分解函式中應對哪個變數求導。
4．求復合函式的導數，一般按以下三個步驟進行：
（1）適當選定中間變數，正確分解復合關係；
（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變數對哪個變數求導）；
（3）把中間變數代回原自變數（一般是x）的函式。
也就是說，首先，選定中間變數，分解復合關係，說明函式關係y=f(μ)，μ=f(x)；然後將已知函式對中間變數求導，中間變數對自變數求導；最後求，並將中間變數代回為自變數的函式。整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以後，可以省略中間過程。
若遇多重復合，可以相應地多次用中間變數。
（ⅱ） 範例分析
例1． 在處可導，則
思路： 在處可導，必連續
例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：
1）； （2）
分析：在導數定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函式f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式。
解：（1）
2）說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。
例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函式的導函式是偶函式，可導的偶函式的導函式是奇函式。
解：若為偶函式令
∴ 可導的偶函式的導函式是奇函式
另證：∴ 可導的偶函式的導函式是奇函式
2019屆高考化學第二輪專題考點複習教案
命題規律 從近幾年新課標區 物質結構與性質 模組的高考試題來看，穩定和創新是命題的特點，其命題熱點主要集中考察以下知識點 1 能量最低原理 電子排布式 軌道表示式 電離能 電負性等。2 鍵 鍵 分子的極性 相似相溶原理 等分子結構與性質。3 晶體型別對物質性質的影響，以及四種晶體的結構與性質差異。從...
2019屆高考地理第二輪考點強化訓練
第一部分考點十四 下圖示意相鄰國家的基本情況，讀圖回答1 3題。1 甲 乙國家最有可能是 a 印度 巴基斯坦 b 法國 德國 c 印度尼西亞 日本 d 墨西哥 美國 答案 d 解析 據圖可以判斷，甲國經濟發展水平較低，可能為發展中國家 乙國經濟發展水平較高，為發達國家。甲 乙兩國是相鄰國家。選d。2...
關於高考數學第二輪複習
數學第二輪複習階段是考生綜合能力與應試技巧提高的階段,是在第一輪的基礎上，對高考知識進行鞏固和強化，數學能力及學習成績大幅度提高的階段.在這一階段，複習指導思想是鞏固 完善 綜合 提高.鞏固，即鞏固第一輪學習成果，強化知識系統的記憶 完善是通過專題複習，查漏補缺，進一步完善強化知識體系 綜合，是減少...