專題9 數形結合
一、填空題
例1曲線（）與直線有兩個交點時，實數的取值範圍是
【答案】：
【提示】曲線為圓的一部分，直線恆過定點(2，4)，由圖可得有兩個交點時的範圍。
例2已知平面向量滿足且的夾角為，則的取值範圍是
【答案】：
【提示】作出草圖，由，故=又，
例3已知向量,, 則與夾角的範圍為
【答案】：
【提示】因說明點a的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖，則與夾角最大是最小是
例4若對一切，複數的模不超過2，則實數的取值範圍為
【答案】：
【提示】複數的模，可以借助單位圓上一點和直線的一點的距離來理解。
例5若對一切恆成立，則的取值範圍是
【答案】：
【提示】分別考慮函式和的影象
例6 已知拋物線經過點、與點，其中，，設函式在和處取到極值，則的大小關係為
【答案】
【提示】由題可設，
則，作出三次函式圖象即可。
例7若方程僅有乙個實根，那麼的取值範圍是
【答案】：或
【提示】：研究函式（）和函式的影象
例8已知函式，其圖象在點(1,)處的切線方程為,則它在點處的切線方程為
【答案】：
【提示】：由可得關於直線對稱，畫出示意圖（略），(1,)和為關於直線的對稱點，斜率互為相反數，可以快速求解。
例9直線與曲線有四個交點，則的取值範圍是
【答案】：
【提示】研究，作出圖象，如圖所示．此曲線與軸交於點，最小值為，要使與其有四個交點，只需，∴
例10已知：函式滿足下面關係：①；
②當時，.則方程解的個數是
【答案】：9
【提示】：由題意可知，是以2為週期，值域為[0,1]的函式．
畫出兩函式圖象，則交點個數即為解的個數．又∵，
∴由圖象可知共9個交點．
例11設定義域為函式，則關於的方程有7個不同實數解的充要條件是
【答案】：
【提示】：由的圖象可知要使方程有7個解，應有有3個解， 有4個解。
例12已知是實數，函式，若函式有且僅有兩個零點，則實數的取值範圍是
【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【提示】易知，即，變形得，分別畫出函式，的圖象(如圖所示)，由圖易知：
當或時，和的圖象有兩個不同的交點，
∴當或時，函式有且僅有兩個零點。
例13已知且，，則的最大值為
【答案】：
【提示】令，這時問題轉化為：，求的最值．
例14函式的值域是
【答案】：
【提示】可令消去t得：所給函式化為含引數u的直線系
y＝－x＋u，如圖知，當直線與橢圓相切於第一象限時u取最大值，此時由方程組，則，由因直線過第一象限，，故所求函式的值域為
例15已知定義在上的函式滿足下列三個條件：①對任意的都有；②對任意的，都有；③的圖象關於軸對稱.則的大小關係是
【答案】：.
【提示】由①：；由②：在上是增函式；由③：，所以的圖象關於直線對稱.
由此，畫出示意圖便可比較大小.
例16關於曲線：的下列說法：①關於原點對稱；②關於直線對稱；③是封閉圖形，面積大於；④不是封閉圖形，與圓無公共點；⑤與曲線：的四個交點恰為正方形的四個頂點，其中正確的序號是
【答案】：①②④⑤
【提示】研究曲線：的影象，與座標軸沒有交點，不是封閉圖形，且時，；時，作出草圖即可
二、解答題
例17設，試求方程有解時的取值範圍：
【提示】將原方程化為
，且令，它表示傾角為的直線系，
令，它表示焦點在軸上，頂點為
的等軸雙曲線在軸上方的部分，
原方程有解
兩個函式的圖象有交點，由影象知或
的取值範圍為
例18已知函式當時，總有.
（ⅰ）求函式f(x)的解析式；
（ⅱ）設函式，求證：當時， 的充要條件是.
【提示】（ⅰ）由條件，得，
當時，總有，結合的影象，所以有
由①+②得，，
又，∴，把代入①和②得
因此 （ⅱ），
是關於x的二次函式，借助的影象（略）
當時，或或解得，
因此，當時，的充要條件是
例19已知函式，，其中，且.
(1) 如果函式的值域是，試求的取值範圍；
(2) 如果函式的值域是，試求實數的最小值．
【提示】先考慮，的情形
則當時，由得，
所以在上是增函式，在上是減函式．
當時，由，所以在上是增函式．
所以當時，函式的最大值是，最小值是
從而均不符合題意，且均符合題意．
當時，在時，；
在時，．
這時的值域是的充要條件是，
即，，解得.
綜上所述，的取值範圍是
(2)由(1)知，①當時，函式的最大值是，由題意知，即，容易得是減函式，故的取值範圍是；
②當時，函式的最大值是，
由題意知，，即且是減函式，故的取值範圍是；
③當時，函式的最大值是，
由題意知，，即且是增函式，故的取值範圍是.
綜上所述，的最小值是，且此時.
例20已知函式，.
⑴若關於的方程只有乙個實數解，求實數的取值範圍；
⑵若當時，不等式恆函式成立，求實數的取值範圍；
⑶求函式在區間[-2,2]上的最大值（直接寫出結果，不需給出演算步驟）.
【提示】（1）方程，即，變形得，顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，有且僅有乙個等於1的解或無解 ，結合圖形得.
（2）（2）不等式對恆成立，即（*）對恆成立，
①當時，（*）顯然成立，此時；
②當時，（*）可變形為，令
因為當時，，當時，，故此時.
綜合①②，得所求實數的取值範圍是.
（3）因為=
1 當時，結合圖形可知在上遞減，在上遞增，
且，經比較，此時在上的最大值為.
2 當時，結合圖形可知在，上遞減，
在，上遞增，且，，
經比較，知此時在上的最大值為.
3 當時，結合圖形可知在，上遞減，
在，上遞增，且，，
經比較，知此時在上的最大值為.
4 當時，結合圖形可知在，上遞減，
在，上遞增，且,，
經比較，知此時在上的最大值為.
當時，結合圖形可知在上遞增，在上遞減，
故此時在上的最大值為.
綜上，當時，在上的最大值為；
當時， 在上的最大值為；
當時， 在上的最大值為0.
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