考點40 橢圓
一、選擇題
1. （2013·新課標全國ⅱ高考文科·ｔ5）設橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，，，則的離心率為（ ）
abcd.
【解題指南】利用已知條件解直角三角形，將用半焦距c表示出來，然後借助橢圓的定義，可得a,c的關係，從而得離心率.
【解析】選d. 因為,
所以。又，所以，
即橢圓的離心率為，選d.
2.(2013·大綱版全國卷高考理科·t8)橢圓c:的左、右頂點分別為, ,點p在c上且直線斜率的取值範圍是,那麼直線斜率的取值範圍是 ( )
ab.cd.
【解題指南】將代入到中,得到與之間的關係,利用為定值求解的取值範圍.
【解析】選b.設，則，，
，故.因為,所以
3. （2013·大綱版全國卷高考文科·ｔ8）已知f1（-1,0）,f2（1,0）是橢圓c的兩個焦點,過f2且垂直於x軸的直線交於a,b兩點,且=3,則c的方程為 ( )
a. b. c. d.
【解題指南】由過橢圓的焦點且垂直軸的通徑為求解.
【解析】選c.設橢圓得方程為，由題意知，又，解得或（捨去），而，故橢圓得方程為.
4. （2013·四川高考文科·ｔ9）從橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰為左焦點，是橢圓與軸正半軸的交點，是橢圓與軸正半軸的交點，且（是座標原點），則該橢圓的離心率是（ ）
abc. d.
【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質，解題時要注意兩個條件的應用，一是與軸垂直，二是
【解析】選c，根據題意可知點p，代入橢圓的方程可得，根據，可知，即，解得，即，解得，故選c.
5. （2013·廣東高考文科·ｔ9）已知中心在原點的橢圓c的右焦點為，離心率等於，則c的方程是
a． b． c． d．
【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質，用好的關係即可.
【解析】選d.設c的方程為，則，c的方程是.
6. （2013·遼寧高考文科·ｔ11）已知橢圓的左焦點為f,c與過原點的直線相交於a,b兩點,連線af,bf. 若|ab|=10,|bf|=8,cos∠abf=,則c的離心率為 ( )
a. b. c. d.
【解題指南】 由餘弦定理解三角形，結合橢圓的幾何性質（對稱性）求出點到右焦點的距離，進而求得
【解析】選b.在三角形中，由餘弦定理得
,又解得在三角形中，，故三角形為直角三角形.設橢圓的右焦點為，連線,根據橢圓的對稱性，四邊形為矩形，
則其對角線且，即焦距
又據橢圓的定義，得，所以.故離心率
二、填空題
7.(2013·江蘇高考數學科·t12) 在平面直角座標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的乙個端點為，設原點到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為
【解題指南】利用構建引數a,b,c的關係式.
【解析】由原點到直線的距離為得，因到的距離為故，又所以又解得
【答案】.
8.（2013·上海高考文科·t12）與（2013·上海高考理科·t9）相同
設ab是橢圓的長軸，點c在上，且.若ab=4，bc=，則的兩個焦點之間的距離為 .
【解析】 如圖所示，以ab的中點o為座標原點,建立如圖所示的座標系.
【答案】.
9.(2013·福建高考文科·t15) 與（2013·福建高考理科·ｔ14）相同
橢圓γ:的左、右焦點分別為f1,f2,焦距為2c.若直線y=與橢圓γ的乙個交點m滿足∠mf1f2=2∠mf2f1,則該橢圓的離心率等於 .
【解題指南】,而2c是焦距,2a是定義中的|pf1|+|pf2|=2a,因此,如果題目出現焦點三角形(由曲線上一點連線兩個焦點而成),求解離心率,一般會選用這種定義法:.
【解析】∠mf1f2是直線的傾斜角,所以∠mf1f2=60°,∠mf2f1=30°,所以△mf2f1是直角三角形,在rt△mf2f1中,|f2f1|=2c,|mf1|=c,|mf2|=,所以.
【答案】.
10. （2013·遼寧高考理科·ｔ15）已知橢圓的左焦點為，與過原點的直線相交於兩點，連線若，則的離心率
【解題指南】由餘弦定理解三角形，結合橢圓的幾何性質（對稱性）求出點a到右焦點的距離，進而求得.
【解析】在三角形中，由餘弦定理得,又，解得在三角形中，，故三角形為直角三角形。
設橢圓的右焦點為，連線,根據橢圓的對稱性，四邊形為矩形，則其對角線且，即焦距
又據橢圓的定義，得，所以.
故離心率
【答案】.
三、解答題
11. （2013·陝西高考文科·ｔ20）
已知動點m(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點n(1,0)的距離的2倍.
(1) 求動點m的軌跡c的方程;
(2) 過點p(0,3)的直線m與軌跡c交於a, b兩點. 若a是pb的中點, 求直線m的斜率.
【解題指南】設出動點m的座標，根據已知條件列方程即可；設出直線方程與橢圓方程聯立，得出k與的關係式，利用中點座標即可得斜率.
【解析】(1) 點m(x,y)到直線x=4的距離是它到點n(1,0)的距離的2倍，則.
所以，動點m的軌跡為橢圓，方程為.
(2) p(0, 3), 設，
橢圓經檢驗直線m不經過這2點，即直線m斜率k存在。.聯立橢圓和直線方程，整理得：
所以，直線m的斜率.
12. （2013·四川高考理科·ｔ20）
已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經過點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設過點的直線與橢圓交於、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．
【解題指南】（1）關注橢圓的定義，利用定義求出，再求出離心率；（2）首先確定橢圓的方程，設出點的座標，結合已知，找到點的座標滿足的關係.
【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|pf1|+|pf2|=+=2,
所以a=,又由已知,c=1,
所以橢圓的離心率e===.
(2)由(1)知,橢圓c的方程為+y2=1, 設點q的座標為(x,y).
(ⅰ) 當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓c交於(0,1),(0,-1)兩點,,此時點q的座標為(0,2).
(ⅱ) 當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=kx+2,因為m,n在直線l上，可設點m,n的座標分別為則
|am|2=(1+k2)x12, |an|2=(1+k2)x22, 又|aq|2=(1+k2)x2,
由=+,得=+,
即=+=, ①
將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ②
由=(8k)24(2k2+1)6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①並化簡得x2=. ③
因為點q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入③並化簡,得10(y2)23x2=18.
由③及k2>,可知0又(0,2)滿足10(y2)23x2=18, 故x(,).
由題意,q(x,y)在橢圓c內,所以1y1,
又由10(y2)2=3x2+18有(y2)2[,)且1y1,
則y(,2].所以,點q的軌跡方程為10(y2)23x2=18,其中x(,), y(,2].
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