函式與數列的綜合運用練習題

1．一列火車自a城駛往b城，沿途有n有車站（其中包括起點站a和終點站b），車上有一節郵政車廂，每停靠一站，要卸下前面各站發往該站的郵件一袋，同時又要裝上該站發往後面各站的郵件一袋，已知火車從第k站出發時，郵政車廂內共有郵袋ak個（k=1，2，…，n）。

（1）寫出數列ak與ak－1的關係式（2≤k≤n）；

（2）求數列的通式公式；

（3）k為何值時，ak最大？求出ak的最大值。

2．已知數列的前n項的和為sn，若nan+1=sn+n（n+1）且a1=2。

（1）求數列的通項公式；

（2）令，

①當n為何值時，tn>tn+1，

②若對一切正整數n，總有tn≤m，求m的取值範圍。

3．已知函式，數列滿足a1=1，an+1=f（an）（n∈n+）。

（1）求數列的通項公式；

（2）記sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求證：sn<。

4．在xoy平面上有一點列p1（a1，b1），p2（a2，b2），p3（a3，b3），…，pn（an，bn），…，對每乙個（n∈n+），點pn（an，bn）在函式的圖象上，且點pn（an，bn）與點（n，0）和（n+1，0）構成乙個以點pn（an，bn）為頂點的等腰三角形。

（1）求點pn（an，bn）的縱座標bn關於n的表示式；

（2）若對每乙個自然數n，以bn，bn+1，bn+2能構成乙個三角形，求a的範圍；

（3）設bn=b1·b2·b3·…·bn（n∈n+），若a取（2）中確定的範圍內的最小整數時，求中的最大項。

5．已知函式f（x）=3x2+bx+1是偶函式，g（x）=5x+c是奇函式，正數數列滿足a1=1，f（an +an－1）－g（an+1an+an2）=1。

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列的前n項和和為sn，求。

6．設。

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前n項的和。

7．已知函式f（x）=ax2+bx（a<0），對於數列，設它的前n項的和為sn，且sn=f（n）（n∈n*）。

（1）證明數列是遞減的等差數列；

（2）證明所有的點在同一直線l1上；

（3）設過點（1，a1），（2，a2）的直線為l2，求l1與l2夾角的最大值。

8．已知等差數列，定義fn（x）=a+a1x+…+anxn，n∈n*.若對任意的n∈n*，滿足：y=fn（x）的圖象經過點（1，n2）。

（1）求數的通式公式；

（2）當n為奇數時，設，是否存在自然數m和m，使不等式恆成立？若存在，求出m與m的值；若不存在，說明理由。