一、 選擇題：
1、數列的乙個通項公式是
a. b．
c． d．
2、若兩數的等差中項為6，等比中項為10，則以這兩數為根的一元二次方程是（ ）
ab、cd、
3、下列推理正確的是
(a) 把與模擬，則有
(b) 把與模擬，則有
(c) 把與模擬，則有
(d) 把與模擬，則有：．
4、用數學歸納法證明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈n*)的過程中，第二步假設n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到( )
a．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
b．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
c．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
d．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
5、把下面在平面內成立的結論模擬地推廣到空間，結論還正確的是（ ）
(a) 如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則比與另一條相交
(b) 如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則比與另一條垂直
(c) 如果兩條直線同時與第三條直線相交，則這兩條直線相交
(d) 如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行．
6、已知等差數列的前n項和為，若
（a）18 （b）36 （c）54 （d）72
7、已知方程的四個根組成乙個首項為的等差數列，則
|m－na．1 b． c． d．
8、等差數列中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，則a1等於( )
a．－1221 b．－21．5c．－20．5d．－20
9、設 是由正數組成的等比數列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那麼a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30
a．210b．215c．220d．216.
10、某人從2023年9月1日起，每年這一天到銀行存款一年定期元，且每年到期的存款將本和利再存入新一年的一年定期，若年利率保持不變，到2023年9月1日將所有的存款和利息全部取出，他可取回的錢數為
a 、 b 、 c 、 d 、
二、 填空題：
11、9、由圖(1)有面積關係:
則由(2) 有體積關係:
12、設等差數列的前n項和為，若，則的值是_______。
13、已知數列的前項和公式為那麼此數列的通項公式為
14、在各項均為正數的等比數列中，若=9，則
15、用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝時，當n＝k＋1時左端在n＝k時的左端加上________．
三、解答題：
16、⑴在等比數列中，若求首項和公比。
⑵設等比數列，是它的前項和，若求公比。
17、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時大於
18、已知數列是等差數列，且
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）令求數列前n項和的公式.
19、某家用電器的生產廠家根據其產品在市場上的銷售情況，決定對原來以每件2000元**的一種產品進行調價，並按新單價的八折優惠銷售，結果每件產品仍可獲得實際銷售價20%的利潤。已知該產品每件的成本是原銷售單價的60%。
（i）求調整後這種產品的新單價是每件多少元？讓利後的實際銷售價是每件多少元？
（ⅱ）為使今年按新單價讓利銷售後的利潤總額不低於20萬元，今年至少應銷售這種產品多少件？（每件產品利潤=每件產品的實際售價-每件產品的成本價）
20、已知正項數列和中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.當n≥2時，an＝an－1bn，bn＝.
(1)證明：對任意n∈n*，有an＋bn＝1；
(2)求數列的通項公式．
21、數列的前項和記為
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求
數列、數學歸納法、推理與證明綜合練習題答案
一：選擇題
1.d 2.d 3.d 4.b 5.b 6.d 7.c 8.c 9.c 10.b
二：填空題
11 . 12. 0 13. 14.100
15、三：解答題
16、解：⑴是等比數列，則根據已知有：
聯立①②兩式可解得：
⑵當時，是常數列，則根據得
因為是等比數列，
故。當時，，解得。
17、（反證法）證：設(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
則三式相乘：ab < (1 a)b(1 b)c(1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c≤ 與①矛盾 ∴原式成立
18、（ⅰ）解：設數列公差為，則又
所以（ⅱ）解：由得
①② 將①式減去②式，得
所以19、（i）解：設每件產品的新單價是x元。
由已知，該產品的成本是2000×60%=1200（元）。
由題意：x·80%-1200=20%·80%·x
解得x=1875（元）。
∴80%·x=1500（元）。
所以，該產品調價後的新單價是每件1875元，讓利後的實際銷售價是每件1500元。
（ⅱ）解：設全年至少應銷售這種電子產品m件。則由題意，
m（1500-1200）≥200000，解得。
∵m∈n ∴m最小值應為667（件）。
所以全年至少售出667件，才能使利潤總額不低於20萬元。
20、解：(1)證明：用數學歸納法證明．
①當n＝1時，a1＋b1＝a＋(1－a)＝1，命題成立；
②假設n＝k(k≥1且k∈n*)時命題成立，即ak＋bk＝1，則當n＝k＋1時，ak＋1＋bk＋1＝akbk＋1＋bk＋1＝(ak＋1)·bk＋1＝(ak＋1)·＝＝＝1.
∴當n＝k＋1時，命題也成立．
由①、②可知，an＋bn＝1對n∈n*恆成立．
(2)∵an＋1＝anbn＋1＝＝＝，
∴＝＝＋1，
即－＝1.
數列{}是公差為1的等差數列，其首項為＝，
＝＋(n－1)×1，從而an＝.
21．解：(i)由可得，兩式相減得
又∴ 故是首項為，公比為得等比數列
∴（ⅱ）設的公差為
由得，可得，可得
故可設又
由題意可得
解得∵等差數列的各項為正，∴∴∴
數列求和
一、利用常用求和公式求和
1、等差數列求和公式： 2、等比數列求和公式：
[例1] 已知，求的前n項和.
解：由由等比數列求和公式得： =＝＝1－
[例2] 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得
∴＝＝＝ ∴ 當，即n＝8時，
二、錯位相減法求和
種這方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
[例3] 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積：設…②（設制錯位）
①－②得 （錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：。∴
[例4] 求數列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設…………② ①－②得∴
三、倒序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
[例6] 求的值
解：設…………. ①
將①式右邊反序得又因為，①+②得89 ∴ s＝44.5
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
[例7] 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得（分組）
當a＝1時，＝（分組求和）當時，＝
[例8] 求數列的前n項和.
解：設∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得： sn
項五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）[例9] 求數列的前n項和.
解：設，則
＝[例11] 求證：
解：設原等式成立
六、合併法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179找特殊性質項）
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