引言數項級數又稱無窮級數,簡稱級數.若數項級數的各項都由正數組成,則稱為正項級數.級數理論是數學中乙個非常重要的理論,正項級數又是級數中的基礎部分,具有很強的實用價值和廣泛的應用.
作為一種常用的研究工具廣泛的應用於其他數學科學和科學技術領域,因此它的收斂判定問題一直被人們所研究.
正項級數的收斂判別法中,常用的且比較典型的判別法有比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法等.
為了比較方便、簡單的判別正項級數是否收斂,首先,可以根據其特點擊擇適當的方法,如：柯西判別法、達朗貝爾判別法或拉貝判別法,使正項級數收斂的判別變得更加簡便.當上述方法都無法使用時,根據條件選擇積分判別法、對數判別法、次數差審斂法等.
一般是,當無法使用柯西判別法時,通常可以選用達朗貝爾判別法,當達朗貝爾判別法也無法使用時,使用比較判別法,若比較判別法還是無法判別時,再使用正項級數收斂的充要條件進行判定.由此,我們可以得到正項級數的判別法是層層遞進使用的,每當一種判別法無法判斷時,就出現一種新的判別法來進行判斷.根據不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷,能夠最大限度的節約時間,提高效率.
本文歸納總結正項級數收斂性判斷的一些典型方法,比較這些方法的不同特點,總結出一些典型的正項級數,並給出了不同通項特點的正項級數選用的不同的判別法.
1關於正項級數的一些基礎知識
定義1.1.1[1] 給定乙個數列,對它的各項依次用「+」號連線起來的表示式
1）稱為數項級數或無窮級數（也簡稱級數）,其中稱為數項級數的通項.
數項級數（1）也常寫作：或簡單寫作.
數項級數（1）的前項之和記為
2）稱它為數項級數（1）的第個部分和,也簡稱部分和.
若數項級數的各項符號都相同,則稱它為同號級數.對於同號級數,只需研究各項都是由正數組成的級數——稱為正項級數.
定義1.1.2[1] 若數項級數（1）的部分和數列收斂於s,則稱數項級數（1）收斂,稱s為數項級數（1）的和,記作或.若是發散數列,則稱數項級數（1）發散.
2 正項級數常用的收斂判別法
定理2.1 [1] （基本判別法）如果正項級數的部分和數列具有上界,則此級數收斂.
例1 判定正項級數的斂散性.
分析：本題無法直接使用定義、柯西判別法、達朗貝爾判別法,或比較判別法以及其他的判別法進行判斷,因此可選用基本定理進行判斷.
解記,則
級數的前項和
所以原級數的部分和數列有上界,於是原級數收斂.
定理2.2 [2] (級數收斂的柯西準則) 級數收斂的充要條件是：對任意給定的正數,總存在,使得當時,對於任意的正整數,都成立著
對於正項級數,由於,因此,只要即可.
注：當級數的通項為等差或等比數列,或通項為含二項以上根式的四則運算,且通項極限無法求出時,可以選用定義和柯西收斂原理進行判斷.
例2解取,若令,則
因此,由柯西收斂原理知級數發散.
例3 解
==則.所以,由級數收斂的定義知原級數收斂.
定理2.3[1] 若級數與都收斂，則對任意常數，級數也收斂.
定理2.4[1] 去掉、增加或改變級數的有限個項並不改變級數的斂散性.
定理2.5[1] 在收斂級數的項中任意加括號,既不改變級數的收斂性,也不改變它的和.
定理2.6 [2] （比較審斂法） 設和是兩個正項級數,如果存在某正數n,對一切都有
則（i）若級數收斂,則級數也收斂；
（ii）若級數發散,則級數也發散.
比較審斂法的極限式
設和是兩個正項級數.若有,則
（1）當時,級數與同時收斂或同時發散；
（2）當時,若級數收斂,則也收斂；
（3）當時,若級數發散,則也發散.
注：當級數的通項型如或含有等三角函式的因子時,可以通過對其進行適當的放縮,然後再與幾何級數、級數等常見的已知其斂散性的級數進行比較,選用比較判別法進行判定.
例4 判別正項級數[6] 收斂.
解因為,,而級數收斂,所以由比較判別法知級數收斂.
例5 判別正項級數的斂散性.
解因為存在正整數,當時,有,而正項級數是收斂的,所以由比較判別法知級數收斂.
定理2.7 [2] 柯西判別法（根式判別法） 設為正項級數.且存在某正數及正常數,則
（i）若對一切,成立不等式＜1,則級數收斂；
（ii）若對一切,成立不等式,則級數發散.
柯西判別法的極限形式：
對於正項級數,設那麼,當時,級數收斂;當時,級數發散;當時,級數的收斂性需要進一步判定.
例6 判定正項級數的斂散性.
分析：本題級數的通項中含有,這種型別是柯西判別法的典型型別,只要取上極限進行判斷即可.
解記,則
.所以,由達朗貝爾判別法的極限形式得級數收斂.
定理2.8 [2] 達朗貝爾判別法（或稱比式判別法） 設為正項級數,且存在某正數及常數（）.
(i)若對一切,成立不等式,則級數收斂;
(ii) 若對一切,成立不等式,則級數發散.
達朗貝爾判別法的極限形式：
對於正項級數,當時,級數收斂；
當時,級數發散；
當時,級數的收斂性需要進一步判定.
注：當級數的通項含有型如或,或分子、分母含多個因子連乘時,選用達朗貝爾判別法.
例7 判別正項級數的斂散性.
解由於,,所以級數發散.
例8 判別正項級數的斂散性.
解由於所以,.故正項級數收斂.
定理2.9 [1] （積分判別法） 設為上非負減函式,那麼正項級數與反常積分同時收斂或同時發散.
注：當級數的通項含有型如,為含有的表示式或可以找到原函式,或函式為上非負單調遞減函式且時,可以選用積分判別法.
例9 判別正項級數的斂散性.
解由於,則廣義積分發散,所以由柯西積分判別法知原級數發散.
定理2.10 [1] （拉貝判別法）設為正項級數,且存在某正數及常數,
(i) 若對一切,成立不等式,則級數收斂;
(ii) 若對一切,成立不等式,則級數發散.
拉貝判別法的極限形式
設為正項級數,且極限存在,則
(i)當時,級數收斂；
(ii)當時,級數發散.
注：當級數的通項含有階乘與次冪,型如與時,而使用柯西判別法、達朗貝爾判別法時極限等於1等無法判斷其斂散性的時候,可選用拉貝判別法.
例10 討論級數當時的斂散性.
解無論哪一值,對級數的比式極限,都有,所以用比式判別法無法判別級數的斂散性.現在應用拉貝判別法來討論,當時,由於 （）,所以級數是發散的.
當時,由於 （）,
由拉貝判別法可知級數發散.
當時,由於 （）,所以級數收斂.
定理2.11[1]（對數判別法） 對於正項級數,若從某一項起,有,則級數收斂；若從某一項起,有,則級數發散.
對數判別法的極限形式：
對於正項級數,如果,那麼,當時級數收斂；時級數發散；時級數的收斂性需要進一步判定.
注：當級數的通項或時,可以選用對數判別法.
例11 判別級數[8]的斂散性.
解因為,對,,當時,有,所以原級數收斂.
使用上面定理時，通常要根據通項的特點來使用相應的判別法,一般情況下有個使用的先後順序,順序是：柯西判別法,達朗貝爾判別法,比較判別法,基本判別法.由此,我們可以得到正項級數的判別法是層層遞進使用的,每當一種判別法無法判斷時,就出現一種新的判別法來進行判斷.
3．正項級數收斂判別法的推廣
前面我們介紹了判別正項級數斂散性的一些常用判別法,但是有些題目用那些常用方法判別時可能會經過特別麻煩的過程才能得到結果或者得不到結果.為了解決這個問題,我們將一些常用的判別法進行推廣,就使得對某些級數的斂散性判別變得更加容易了.
3.1[5]d-c判別法對於級數,其中,若
,,那麼
（i）當時,級數收斂；
（ii）當（含的情形）時,級數發散；
（iii）當或或時,級數的收斂性待確定.
例12判別級數的收斂性.
解令,,則有
,.從而,,由d-c判別法知,原級數收斂.
3.2[3]越項比值判別法設正項級數的通項是遞減的,如果,則
（1）當時,級數收斂；
（2）當時,級數發散.
3.3[7]次數差審斂法若正項級數的一般項為關於項數的分式形式（若為整式則分母視為1）,設分子的最高次數為,分母的最高次數為.
（1）若,則級數發散；
（2）若,則級數收斂.
證明 （1）當時,分四種情況討論.
①若,則其部分和數列一定是乙個單調增加無解數列,故部分和數列的極限不存在,由級數發散的定義,級數發散.
②若,則一般項的極限為分子、分母的最高次數的係數比,即一般項的極限不可能為0,根據級數收斂的必要條件,級數發散.
③若,此時的分子的次數高於分母的次數,則有,根據極限審斂法,級數發散.
④若,此時的分子、分母的最高次數相同,則有,根據極限審斂法,級數發散.
綜上,若,級數發散.
（2）若,設,則存在p＞1使得,根據極限審斂法,級數收斂.
例13判定級數的斂散性.
分析：這裡我們把認為的最高次數為1,此時,猜想級數收斂.啟示我們找乙個收斂級數與該級數比較.
解因為得,因為級數收斂,,由比較審斂法知收斂.
例14 判定級數的斂散性
解由次數差審斂法,所以此級數發散.
3.4[8]柯西判別法的推廣
設為正項級數,若存在正定數,使得,則
（i）當時,級數收斂；
（ii）當時,級數發散.
例15考察正項級數的斂散性.
解由於,故由柯西判別法的推廣知此級數收斂.且容易看出這樣判別較運用柯西判別法來判定,顯得更加簡便快捷.
3.5[8]達朗貝爾判別法的推廣
設為正項級數,且,則
（i）當-∞≤q＜-1時,級數收斂；
（ii）當-1＜q≤+∞時,級數發散.
例16考察正項級數的斂散性.
解由於,故達朗貝爾判別法失效,但由於
,故由達朗貝爾判別法的推廣知此級數收斂.
3.6[12]比較判別法的推廣
（1）若正項級數收斂,則級數也收斂（）；
（2）若正項級數發散,且,則級數發散.
證明用數學歸納法和比較判別法來證明.
（1）當時,因為級數收斂,所以,從而,即收斂.
假設時收斂,則時,由得收斂,所以結論成立.
（2）當時,,由比較判別法知發散.
假設時發散,則時,因為,所以發散,因此結論成立.
例17 判別級數的斂散性.
解由級數和級數收斂,可得級數收斂.再由比較判別法的推廣得級數收斂.
12 2正項級數
一 教學目的 掌握判別正項級數斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根式判別 法和積分判別法 二 教學內容 比較判別法 比式判別法 根式判別法 積分判別法 基本要求 1 掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法 2 較高要求 介紹拉貝判別法 三 教學建議 1 要求學生必須理解和掌握...
高數輔導之專題十九 正項級數的斂散性判別法
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常數項級數
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