第35卷第5期西南師範大學學報(自然科學版)2023年10月vol135n o15journal of southwest china normal university(natural science edition)oct12010
文章編號:1000-5471(2010)05-0236-01
柯西收斂準則的乙個新證明
楊進重慶師範大學數學學院，重慶400047
摘要：通過構造兩個新數列，利用單調有界原理，給出了柯西收斂準則的乙個新證明.
關鍵詞：柯西收斂準則；單調有界原理；數列
中圖分類號:o172文獻標識碼:a
在這篇短文裡，通過構造兩個新數列，利用單調有界原理，我們給出了柯西收斂準則的乙個新證明.
柯西收斂準則數列x n收斂的充要條件是x n是柯西數列.
證必要性顯然.下證充分性.
設x n是柯西數列，即p e>0，存在n>0，當n,m>n時，有
x n-x mz n=inf
顯然,y n是單調遞減數列,z n是單調遞增數列.取
m=max x1,x2,,,x n,x n+1+1
由(1)，不難知x n[m,p n=1,2,,.於是,y n和z n都是有界數列.根據單調有界原理,y n和z n都是收斂數列.不妨設
y n y a z n y b n y](2)由y n和z n的構造以及(1)，我們有
z n[x n[y n n=1,2,,(3)
y n-z nn(4)於是由(4)，有a-b[e.而e是任意正數，因此
a=b(5)最後，根據(2),(3)和(5)，我們有x n y a(n y]).
這就完成了證明.
責任編輯覃吉康
*收稿日期:2010-05-27
作者簡介：楊進(1988-)，男，重慶人，本科大三學生.
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