柯西（cauchy）不等式
等號當且僅當或時成立（k為常數，）現將它的證明介紹如下：
證明1：構造二次函式
=恆成立
即當且僅當即時等號成立
證明（2）數學歸納法
（1）當時左式=右式=
顯然左式=右式
當時，右式右式
僅當即即時等號成立
故時不等式成立
（2）假設時，不等式成立
即當，k為常數，或時等號成立設則
當，k為常數，或時等號成立
即時不等式成立
綜合（1）（2）可知不等式成立
接近於0，則相關程度越小。
證明（3）配方法
作差：因為
所以，即
即當且僅當
即時等號成立。
證明（3）用向量法證明
設維空間中有二個向， ，其中為任意兩組實數。
由向量的長度定義，有|,
又由內積的定義， ,其中是,的夾角，
且有。因||，故，於是
||≤即
當且僅當||時，即與共線時等號成立。
由,共線可知
即由以上，命題得證。
5) 利用均值不等式
當=0時不等式顯然成立
當≠0柯西不等式可化為
1 ≥。
由均值不等式可知≤==1即1≥當且僅當時等號成立。
變式1 設≥
證明：≥
∴≥變式2 設ai,bi同號且不為0（i=1,2,…,n）則≥證明：∵（）（）≥∴≥
柯西不等式及證明
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柯西不等式
關於柯西不等式的應用和證明總結 柯西不等式簡介 所謂柯西不等式是指 設ai,bi r i 1,2 n,則 a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 等號當且僅當 時成立。柯西不等式證法 柯西不等式的一般證法有以下幾種 1 柯西不等式的形式化寫法就是 記兩列數分...
用柯西不等式的變式證明不等式
電子郵箱 聯絡 158 來稿日期 2012 10 15 苗勇 江蘇省睢寧縣古邳中學 221241 本文的例1至例4分別是文 1 的例1至例4，文 1 對這類輪換對稱不等式的證明的方法是先猜想不等式等號成立的條件是，然後利用基本不等式進行構造證明，方法巧妙，但操作較為麻煩，筆者發現這類不等式用柯西不等...