1. （變形構造新函式，一次）
已知函式．
⑴試討論在定義域內的單調性；
⑵當＜－1時，證明：，．求實數的取值範圍．
解：⑴函式的定義域為，．
當時，增區間為，減區間為；
當≤≤0時，增區間為；
當時，增區間為，減區間為．
⑵當＞0時，在區間(0,1)上單調遞增，
不妨設，則，
∴等價於，即．
構造，則＞0．
∴在上是增函式，當時，，
即，即．
又當＞0時，在區間(0,1)上單調遞增，
∴．∴，即．
2. （優質試題遼寧理21，變形建構函式，二次）
已知函式.
⑴討論函式的單調性；
⑵設，如果對任意，≥，求的取值範圍.
解：⑴的定義域為（0，+∞）. .
當時，＞0，故在（0，+∞）單調增加；
當時，＜0，故在（0，+∞）單調減少；
當－1＜＜0時，令=0，解得.
則當時，＞0；時，＜0.
故在單調增加，在單調減少.
⑵不妨假設，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）單調減少，從而
，等價於，…… ①
令，則①等價於在（0，+∞）單調減少，即.
從而,設並設，
∴，∴≤
故a的取值範圍為（－∞，－2].
3. （優質試題遼寧文21，構造變形，二次）
已知函式.
⑴討論函式的單調性； k^s*
⑵設，證明：對任意，.
解：⑴ f(x)的定義域為(0,+)，.
當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；
當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；
當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0, )時, ＞0；
x∈(，+)時，＜0,
故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.
⑵不妨假設x1≥x2.由於a≤－2,故f(x)在（0，+）單調減少.
所以等價於≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.
設，≤－1，對稱軸為，
結合圖象知≤≤0，
於是≤＝≤0.
從而g(x)在（0,+）單調減少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+) ，
4. （遼寧，變形構造，二次）
已知函式f(x)=x2－ax+(a－1)，.
（1）討論函式的單調性；優質試題
（2）證明：若，則對任意x,x，xx，有.
解：(1)的定義域為.
①若即,則，故在單調增加。
②若,而,故,則當時，;
當及時，
故在單調減少，在單調增加。
③若,即,同理在單調減少，在單調增加.
⑵考慮函式
則（另一種處理）
由於1當時，有.
（另一種處理）
，結合二次函式圖象
設≥≥＞0
5. 已知函式
（1）確定函式的單調性；
（2）若對任意，且，都有，求實數a的取值範圍。
6. （變形構造）
已知二次函式和「偽二次函式」（、、），
(i)證明：只要，無論取何值，函式在定義域內不可能總為增函式；
(ii)在二次函式圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫座標為，記直線的斜率為，
(i)求證：；
(ii)對於「偽二次函式」，是否有①同樣的性質?證明你的結論.
解：（i）如果為增函式,則(1)恆成立,
當時恆成立, (2)
由二次函式的性質, (2)不可能恆成立.則函式不可能總為增函式. 3分
（ii）（i） =.
由, 則--------5分
（ii）不妨設,對於「偽二次函式」:
=, (3) 7分
由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質，則 , (4)
比較(3)( 4)兩式得，即：，(410分
不妨令， (5)
設，則，
∴在上遞增， ∴.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立
∴「偽二次函式」不具有(ⅰ)的性質. -------12分
7. (變形構造，第2問用到均值不等式)
已知定義在正實數集上的函式f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.
⑴設兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，並求b的最大值；
⑵設h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，證明：若a≥－1，則h(x)在(0,＋∞)上單調遞增；
⑶設f(x)＝f(x)＋g(x)，求證：對任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.
解：⑴設f(x)與g(x)交於點p(x0，y0)，則有
f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①
又由題意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.②
由②解得x0＝a或x0＝－3a(捨去)．
將x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.
令s(a)＝a2－3a2lna，則s′(a)＝2a(1－3lna)，
a∈(0,)時，s(a)遞增，a∈(,＋∞)時，s(a)遞減，所以s(a)≤s()＝，
即b≤，b的最大值為.
⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，
因為a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)內單調遞增．
⑶由⑵知x1＜x2時，h(x1)＜h(x2)，即f(x1)－8x1＜f(x2)－8x2.
因為x1＜x2，所以＞8.
8. 已知函式，a為正常數．
⑴若，且a，求函式的單調增區間；
⑵在⑴中當時，函式的圖象上任意不同的兩點，，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：．
⑶若，且對任意的，，都有，求a的取值範圍．
解：⑴∵a，令得或,∴函式的單調增區間為.
⑵證明：當時
∴, ∴,又
不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，
又∵，∴ 即比較與的大小．
令,則,
∴在上位增函式．
又，∴， ∴，即
⑶∵ ，∴
由題意得在區間上是減函式．
當， ∴
由在恆成立．
設，，則
∴在上為增函式，∴.
當，∴由在恆成立
設，為增函式,∴
綜上：a的取值範圍為.
9. 已知函式（）．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）記函式的圖象為曲線．設點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行於直線，則稱函式存在「中值相依切線」．試問：函式是否存在「中值相依切線」，請說明理由．
解：（ⅰ）易知函式的定義域是，
．…………1分
①當時，即時, 令,解得或;
令,解得．……………2分
所以，函式在和上單調遞增,在上單調遞減
②當時，即時, 顯然，函式在上單調遞增；……………3分
③當時，即時, 令,解得或;
令,解得．……………4分
所以，函式在和上單調遞增,在上單調遞減
綜上所述，
⑴當時,函式在和上單調遞增,在上單調遞減；
⑵當時,函式在上單調遞增；
⑶當時,函式在和上單調遞增,在上單調遞減．……………5分
（ⅱ）假設函式存在「中值相依切線」．
設,是曲線上的不同兩點，且，
則……………7分
曲線在點處的切線斜率
，……………8分
依題意得：．
化簡可得： ，即=． ……………10分
設 （），上式化為：, 即． ………12分
令,．因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恆成立．
所以在內不存在,使得成立．
綜上所述，假設不成立．所以，函式不存在「中值相依切線」．……………14分
10. 已知函式.
（1）若對任意的恆成立，求實數的取值範圍；
（2）當時，設函式，若，求證
解：（1）,，即在上恆成立
設,，時，單調減，單調增，
所以時，有最大值.，所以.
（2）當時，,
,所以在上是增函式，上是減函式.
因為，所以
即,同理.
所以又因為當且僅當「」時，取等號.
又，,所以,所以，
所以：.
11. 已知．
(1) 求函式在上的最小值；
(2) 對一切，恆成立，求實數a的取值範圍；
(3) 證明: 對一切，都有成立．
解： (1) ，當，，單調遞減，當，，單調遞增．① ，t無解；② ，即時，；
③ ，即時，在上單調遞增，；
所以． (2)，則，
設，則，
，，單調遞減，
，，單調遞增，
所以.因為對一切，恆成立，所以；
（3） 問題等價於證明，由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到，設，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立．
12. （優質試題陝西21，變形構造，反比例）
設函式定義在上，，導函式，．
（1）求的單調區間和最小值；
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