一引例1．證明：
1證明：設
即思考1：證明：
2 當時，證明：。
2證明：令， 由知
∴當時，單調遞增 ∴
於是令， 由知
∴當時，單調遞增 ∴ 於是
∴思考2：已知函式，各項不為零的數列滿足，
（1）求證：；
（2）設，為數列的前項和，求證：。
二例解（1）基於函式關係求值域
3 已知函式，若在單調增加，
在單調減少，證明：＜6
（2）基於比較法構建函式
4 設，對任意實數，記．
求證：當時，對任意正實數成立；
（3）基於最值法構建函式
5 已知函式(x>0)，f(x)的導函式是，對任意兩個不相等的正數、，求證：當時， .
（4）基於結構的對稱性構建函式
6 設函式(其中)的圖象在處的切線與直線平行. (1)求的值；(2)求函式在區間[0,1]的最小值；
(3)若,, ,且,
試根據上述(1)、(2)的結論證明:.
（5）基於題設條件構建函式
7 設是方程的實數根，函式的導數滿足.
求證：對於定義域中任意的，當，且時，.
（6）基於不等式，派生出新的不等式
8 已知函式（其中為自然對數的底）．（ⅰ）求函式的最小值；
（ⅱ）若，證明：．．練習
1、已知函式，（1）求函式的最小值；
（2）若，求證：．
2、已知函式f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函式的單調性；
（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。
3 已知函式,數列滿足,; 數列滿足,.
求證若則當n≥2時,.
學法指導建構函式證明不等式
一引例1．證明：
1證明：設
即思考1：證明：
思考1證明：由1知設
2 當時，證明：。
2證明：令， 由知
∴當時，單調遞增 ∴
於是令， 由知
∴當時，單調遞增 ∴ 於是
∴思考2：已知函式，各項不為零的數列滿足，
（1）求證：；
（2）設，為數列的前項和，求證：。
思考2（1）由已知可得， 當時，
兩式相減得
∴或當時，，若，則這與矛盾
於是，待證不等式即為。
為此，我們考慮證明不等式
令則，轉化為題2即
（2）由（1）可知則
在中令，並將各式相加得
即二例解（1）基於函式關係求值域
3 已知函式，若在單調增加，在單調減少，證明：＜6
3解：由條件得：從而
因為所以
將右邊展開，與左邊比較係數得，故
又由此可得 21世紀教育網
於是（2）基於比較法構建函式
4 設，對任意實數，記．
求證：當時，對任意正實數成立；
4 證明：（i）方法一：令，
則，當時，由，得，當時，，
所以在內的最小值是．
故當時，對任意正實數成立．
方法二：
對任意固定的，令，則，
由，得．當時，．當時，，
所以當時，取得最大值．
因此當時，對任意正實數成立．
（3）基於最值法構建函式
5 已知函式(x>0)，f(x)的導函式是，對任意兩個不相等的正數、，求證：當時， .
5 證明：證法一：由，得
∴下面證明對任意兩個不相等的正數，有恆成立英才苑
即證成立
∵設，則
令得，列表如下：
∴∴對任意兩個不相等的正數，恒有
證法二：由，得
∴∵是兩個不相等的正數
∴設，則，列表：
∴ 即
∴ycy即對任意兩個不相等的正數，恒有
（4）基於結構的對稱性構建函式
6 設函式(其中)的圖象在處的切線與直線平行.
(1)求的值；
(2)求函式在區間[0,1]的最小值；
(3)若,, ,且,
試根據上述(1)、(2)的結論證明:.
6 解：(1)因為, 所以
解得m=－1或m=－7(舍),即m=－1 (2)由,解得
列表如下:
所以函式在區間[0,1]的最小值為
(3)因為
由(2)知,當x∈[0,1]時, ,所以,
所以當,,,且時, ,,,所以
又因為,
所以故(當且僅當時取等號)
（5）基於題設條件構建函式
7 設是方程的實數根，函式的導數滿足.
求證：對於定義域中任意的，當，且時，.
7解：不妨設，因為所以為增函式，所以，
又因為，所以函式為減函式，
所以，所以，即，所以.
（6）基於不等式，派生出新的不等式
8 已知函式（其中為自然對數的底）．（ⅰ）求函式的最小值；
（ⅱ）若，證明：．
8 解：（ⅰ）因為，所以．
顯然，當時，；當時，．因此，在上單調
遞減，在上單調遞增．
因此，當時，取得最小值；
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知：當時，有，即，故
（），從而有 ．練習
1、已知函式，
（1）求函式的最小值；
（2）若，求證：．
解：（1）=，………………2分
當時，，所以當時，，
則函式在上單調遞增，
所以函式的最小值5分
（2）由（1）知，當時，，
∵，∴， ①……7分
∵，10分
由①②得12分
2、已知函式f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）討論函式的單調性；
（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。
解：(1)的定義域為。
2分（i）若即,則
故在單調增加。
(ii)若,而,故,則當時，;
當及時，
故在單調減少，在單調增加。
(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加.
(ii)考慮函式
則由於13 已知函式,數列滿足,; 數列滿足,.
求證若則當n≥2時,.
證明: (ⅰ)先用數學歸納法證明,.
（1）當n=1時,由已知得結論成立;
（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,
因為0 又f(x)在上連續,所以f(0) 故當n=k+1時,結論也成立. 即對於一切正整數都成立.
又由, 得,從而.
綜上可知
(ⅱ)建構函式g(x)= -f(x)=, 0 由,知g(x)在(0,1)上增函式. 又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.
因為,所以,即》0,從而
(ⅲ) 因為,所以, ,
所以 ————,
由(ⅱ)知:, 所以= ,
因為, n≥2,
所以 <<=————.
由兩式可知:.
建構函式證明不等式
唐山電大遷安分校王建榮 函式思想是重要的數學思想,利用函式思想可以解決一類不等式的證明.一構造一次不等式 例1 已知 求證 證明 建構函式 其圖象為一條直線.即二構造二次函式 例2 已知都是正數,求證證明 在 0,1 上的值域為 所以,三構造分式函式 例3 已知都是正數,且.求證 證明 建構函式 設...
變形建構函式證明不等式
1.變形構造新函式，一次 已知函式 試討論在定義域內的單調性 當 1時，證明 求實數的取值範圍 解 函式的定義域為，當時，增區間為，減區間為 當 0時，增區間為 當時，增區間為，減區間為 當 0時，在區間 0,1 上單調遞增，不妨設，則，等價於，即 構造，則 0 在上是增函式，當時，即，即 又當 0...
變形建構函式證明不等式
1.變形構造新函式，一次 已知函式 試討論在定義域內的單調性 當 1時，證明 求實數的取值範圍 解 函式的定義域為，當時，增區間為，減區間為 當 0時，增區間為 當時，增區間為，減區間為 當 0時，在區間 0,1 上單調遞增，不妨設，則，等價於，即 構造，則 0 在上是增函式，當時，即，即 又當 0...