2009中考尖子訓練營（七）
與圓有關的證明（一）
一、兩弧相等的證明.
【知識要點】
證明兩弧相等，方法多樣靈活，一般包括：
（1）找出第三條弧，證明兩條弧分別都與這條相等.
（2）利用垂徑定理及其推論.
（3）利用平行弦所夾的弧相等來證明.
（4）利用在同圓或等圓中，弧所對應的圓心角、圓周角、弦、弦心距相等來證明.
【典型例題】
例1．如圖1，已知bc為⊙o的直徑，ad⊥bc，垂足為d，bf交ad於e，且ae=be，求證：ab=af.
例2．如圖2,已知ab是半圓的直徑,過點b作bn垂直弦ef的延長線於n,bn交半圓於點c.求證:ae=fc.
例3．已知:如圖3,a是⊙o上的一點,割線pc交⊙o於b、c兩點，d是pc上的一點，且pd是pb和pc的比例中項，pd=pa，鏈結ad並延長交⊙o於點e.求證：be=ce.
【針對練習】
1．已知：如圖4，cf是⊙o的直徑，cb為⊙o的弦，cb的延長線與過點f的⊙o和切線交於點p.若點e為bc上一點，且滿足pe=pb·pc，鏈結fe並延長交⊙o於點a.
求證：ba=ac.
2．如圖5，已知⊙o的兩條弦ab，cd相交於p，∠1=∠2，求證：ad=bc.
二、弧的倍分問題.
【知識要點】
證明弧的倍分問題的方法大致有兩種：一是證明長弧所對的圓心角（或圓周角）是短弧所對的圓心角（或圓周角）的幾倍.另一種是證明若分成等份後，其中的乙份與短弧相等.
【典型例題】
例1．如圖7，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，d是ba延長線上一點，co=cd，dc的延長線交⊙o於e，求證：eb=3ca.
例2．已知：如圖8，ab是⊙o的直徑，c是半徑ao上的一點，以c為圓心，oc為半徑的⊙c交⊙o於d，鏈結dc並延長交⊙o於點e.求證：ad=be.
三、圓中線段相等的證法.
【知識要點】
除了利用三角形、四邊形等的有關性質外，證明圓中兩條線段相等的方法和定理還有：
（1）圓中等弧所對的弦相等；
（2）圓中等弦心距的弦相等，等弦的弦心距相等；
（3）垂徑定理；
（4）切線長定理；
（5）相交兩圓的連心線平分公共弦.
【典型例題】
例1．如圖8，在⊙o中，過圓周上一點a作弦ab和ac，且ab=ac，m和n分別為ab及ac的中點，鏈結mn延長交⊙o於p、q兩點，求證：pm=nq.
例2．已知：如圖9，在△abc中，ad平分∠bac交△abc的外接圓o於d點，交bc於m點，pg是經過點m的弦，且∠amc=∠amg，直徑af交gh於p，求證：gp=ph.
【針對訓練】
1．如圖11，ab、cd是⊙o的弦，m、n分別為ab、cd的中點，且∠amn=∠cnm，
求證：ab=cd.
四、圓中角相等的證明
【知識要點】
根據圓的有關性質定理證明角相等的方法有：
（1）等弧所對的圓心角相等；
（2）同弧或等弧所對的圓周角相等；
（3）弦切角等於所夾的弧所對的圓周角；
（4）圓內兩弦的夾角等於其所截相對兩弧所對圓周角的和；
（5）圓的兩割線（或切線）所成的角等於其所截相對兩弧所對圓周角的差；
（6）圓內接四邊形的外角等於內對角；
（7）圓外一點與圓心的連線平分過這點所引圓的切線的夾角.
例1．如圖12，設ab為⊙o的直徑，cd為切線，切點為c，ad⊥cd，求證：∠bac=∠cad.
例2．如圖13，pa為⊙o的切線，a為切點，從pa的中點b作割線bcd，交圓於c、d，鏈結pc、pd分別交圓於e、f，求證：∠apd=∠efd.
【針對訓練】
1．如圖14，△abc內接於⊙o，be與⊙o相切於點b，d是⊙o上的一點，ad的延長線交be於e，.求證：bd是∠cbe的平分線.
2．如圖15，ad是⊙o的切線，d是切點，abc是⊙o的割線，de⊥ao於e，求證：∠aeb=∠aco.
3．如圖16，⊙和⊙內切於點p，過點p的直線交⊙於點d，交⊙於點e，da與⊙相切，切點為c，求證：pc平分∠apd.
【作業】日期姓名完成時間成績
1．如圖1，ab是⊙o的直徑，p、q是ab上兩點，且ap=bq.c、d是⊙o上兩點，且ac=bd，分別延長cp、dq交⊙o於m、n，求證：am=bn.
2．已知：如圖2，四邊形abcd內接於⊙o，且bd=dc.求證：ad是△abc外角∠cae的平分線.
3．如圖3，△abc內接於⊙o，bh是⊙o的切線，⊙o的割線hdg分別交bc和ac於點e、f，且，求證：∠a=∠cfe.
8尖子訓練與圓有關的證明 二
2009中考尖子訓練營 八 與圓有關的證明 二 一 圓中等積式的證明 知識要點 證明圓中等積式的方法通常有以下幾種 1 利用相似三角形的對應邊成比例證明 2 利用圓冪定理證明 3 利用建立起來的等積式，進行線段代換，得出所證的等積式 4 證明等積式兩邊兩線段的乘積都等於第三個某兩線段乘積 典型例題 ...
與圓有關的證明
一 圓中等積式的證明 知識要點 證明圓中等積式的方法通常有以下幾種 1 利用相似三角形的對應邊成比例證明 2 利用圓冪定理證明 3 利用建立起來的等積式，進行線段代換，得出所證的等積式 4 證明等積式兩邊兩線段的乘積都等於第三個某兩線段乘積 典型例題 例1 如圖1，已知 rt abc中，acb 90...
圓的有關計算與證明
中考第22題圓的計算與證明專題研討 1 如圖，已知 o1和 o2相交於a b兩點，直線ao1交 o1於點c，交 o2於點d，cb的 延長線交 o2於點e，連線de，已知cd 8，de 6。求ce的長。2 如圖，已知ab是 o的直徑，p為ab延長線上一動點，過點p作 o的切線，設切點 為c，作 apc...