(時間：40分鐘分值：50分)
1．(6分)(2015臨沂中考)如圖，點o為rt△abc斜邊ab上的一點，以oa為半徑的⊙o與bc切於點d，與ac交於點e，連線ad.
(1)求證：ad平分∠bac；
(2)若∠bac＝60°，oa＝2，求陰影部分的面積(結果保留π)．
解：(1)證明：連線od，∵⊙o切bc於點d，∴od⊥bc，∵ac⊥bc，∴ac∥od，∴∠cad＝∠ado，∵oa＝od，∴∠oad＝∠oda，∴∠oad＝∠cad，即ad平分∠bac；(2)連線oe，ed.
因為∠bac＝60°，oe＝oa，所以△oae為等邊三角形，所以∠aoe＝60°，根據「同弧所對的圓周角是圓心角的一半」可得∠ade＝30°，又∵∠oad＝∠bac＝30°，∴∠ade＝∠oad，∴ed∥ao，∴o點到ed的距離與a點到ed的距離相等，∴s△aed＝s△oed，∴s陰影＝s扇形oed＝＝π.
2．(6分)(2015曲靖一中模擬)如圖，已知pc平分∠mpn，點o是pc上一點，pm與⊙o相切於點e，交pc於a、b兩點．
(1)求證： pn與⊙o相切；
(2)如果∠mpc＝30°，pe＝2，求劣弧的長．
解：(1)如圖，過點o作od⊥pn，垂足為d，連線oe，∵pm是⊙o的切線，點e為切點，∴oe⊥pm，又∵pc平分∠mpn，∴oe＝od，即od是⊙o的半徑，∴pn是⊙o的切線，即pn與⊙o相切；(2)∵pm是⊙o的切線，點e為切點，∠mpc＝30°，pe＝2，∴∠eoc＝∠epo＋∠peo＝120°，∴op2－oe2＝pe2，∴(2r)2－r2＝(2)2，∴r＝2，即oe＝2，∴劣弧＝＝＝
3．(6分)(2015大連中考)如圖，ab是圓o的直徑，點c、d在圓o上，且ad平分∠cab.過點d作ac的垂線，與ac的延長線相交於e，與ab的延長線相交於點f.
(1)求證： ef與圓o相切；
(2)若ab＝6，ad＝4，求ef的長．
(1)證明：如圖，連線od，因為oa＝od，所以∠oad＝∠oda，又因為ad平分∠bac，所以∠oad＝∠cad，所以∠oda＝∠cad.所以od∥ae，又因為ef垂直於ae，所以od垂直於ef，所以ef與圓o相切；(2)如圖，連線od、cd、bd、bc，bc交od於點g，則cd＝bd，因為ab是直徑，所以∠acb＝∠adb＝90°，又因為ab＝6，ad＝4，所以bd＝＝＝2，所以cd＝2.
因為∠acb＝∠e，所以bc∥ef.因為ad平分∠cab，所以∠oad＝∠cad，又因為∠adb＝∠e，所以△ade∽△abd，＝，所以＝，所以de＝.在rt△cde中，ce＝＝＝，所以dg＝.
og＝3－＝.在rt△ogb中，gb＝＝＝，因為∠acb＝∠e，所以bc∥ef.所以△ogb∽△odf，＝，所以＝，所以df＝.
所以ef＝de＋df＝＋＝.
4．(6分)(2015西山實驗中學模擬)如圖，在△abc中，ab＝ac，以ab為直徑的⊙o分別與bc，ac交於點d，e，過點d作⊙o的切線df，交ac於點f.
(1)求證：df⊥ac；
(2)若⊙o的半徑為4，∠cdf＝22.5°，求陰影部分的面積．
(1)證明：連線od，∵ob＝od，∴∠abc＝∠odb.∵ab＝ac，∴∠abc＝∠acb.
∴∠odb＝∠acb，∴od∥ac.∵df是⊙o的切線，∴df⊥od.∴df⊥ac；(2)連線oe，∵df⊥ac，∠cdf＝22.
5°，∴∠abc＝∠acb＝67.5°，∴∠bac＝45°.∵oa＝oe，∴∠aoe＝90°.
∵⊙o的半徑為4，∴s扇形aoe＝4π，s△aoe＝8.∴s陰影＝s扇形aoe－s△aoe＝4π－8.
5．(6分)(2015蘭州中考)如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，∠bac的平分線ad交bc邊於點d.以ab上一點o為圓心作⊙o，使⊙o經過點a和點d.
(1)判斷直線bc與⊙o的位置關係，並說明理由；
(2)若ac＝3，∠b＝30°，
①求⊙o的半徑；
②設⊙o與ab邊的另乙個交點為e，求線段bd，be與劣弧所圍成的陰影部分的面積(結果保留根號和π)．
解：(1)相切，理由如下：如圖，連線od，∵ad平分∠bac，∴∠1＝∠2，∵oa＝od，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴od∥ac，又∠c＝90°，∴od⊥bc，所以bc與⊙o相切；(2)①∵ac＝3，∠b＝30°，∴ab＝6，又oa＝od＝r，∴ob＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙o的半徑是2；②由(1)得od＝2，則ob＝4，bd＝2，s陰影＝×2×2－＝2－
6．(7分)(2015昆明第三中學模擬)如圖，在△abc中，ab＝ac，ae是∠bac的平分線，∠abc的平分線bm交ae於點m，點o在ab上，以點o為圓心，ob的長為半徑的圓經過點m，交bc於點g，交ab於點f.
(1)求證： ae為⊙o的切線；
(2)當bc＝8，ac＝12時，求⊙o的半徑；
(3)在(2)的條件下，求線段bg的長．
解：(1)連線om.∵ac＝ab，ae平分∠bac，∴ae⊥bc，ce＝be＝bc，∵ob＝om，∴∠obm＝∠omb，∵bm平分∠abc，∴∠obm＝∠cbm，∴∠omb＝∠cbm，∴om∥bc，又∵ae⊥bc，∴ae⊥om，∴ae是⊙o的切線；(2)設⊙o的半徑為r，∵om∥be，∴△oma∽△bea，∴＝，由(1)得be＝4，即＝，解得r＝3，∴⊙o的半徑為3；(3)過點o作oh⊥bg於點h，則bg＝2bh，∵∠ome＝∠meh＝∠eho＝90°，∴四邊形omeh是矩形，∴he＝om＝3，∴bh＝1，∴bg＝2bh＝2.
7．(7分)(2015襄陽中考)如圖，ab是⊙o的直徑，點c為⊙o上一點，ae和過點c的切線互相垂直，垂足為e，ae交⊙o於點d，直線ec交ab的延長線於點p，連線ac，bc，pb∶pc＝1∶2.
(1)求證： ac平分∠bad；
(2)**線段pb，ab之間的數量關係，並說明理由；
(3)若ad＝3，求△abc的面積．
(1)證明：連線oc，∵pe與⊙o相切，∴oc⊥pe.∴∠ocp＝90°.
∵ae⊥pe，∴∠aep＝90°＝∠ocp，∴oc∥ae.∴∠cad＝∠oca.∵oa＝oc，∴∠oca＝∠oac，∴∠cad＝∠oac，∴ac平分∠bad；(2)pb，ab之間的數量關係為ab＝**b.
理由如下：∵ab為⊙o的直徑，∴∠acb＝90°.∴∠bac＋∠abc＝90°.
∵ob＝oc，∴∠ocb＝∠abc.∵∠pcb＋∠ocb＝90°，∴∠pcb＝∠pac.∵∠p＝∠p，∴△pca∽△pbc.
∴＝，∴pc2＝pb·pa.∵pb∶pc＝1∶2，∴pc＝2pb.∴pa＝4pb.
∴ab＝**b；(3)解：過點o作oh⊥ad於點h，則ah＝ad＝，四邊形oceh是矩形．∴oc＝he，∴ae＝＋oc.∵oc∥ae，∴△pco∽△pea.
∴＝.∵ab＝**b，ab＝2ob，∴ob＝pb.∴＝＝，∴oc＝.
∴ab＝5.∵△pbc∽△pca，∴＝＝，∴ac＝2bc.在rt△abc中，ac2＋bc2＝ab2，∴(2bc)2＋bc2＝52，∴bc＝，∴ac＝2.
∴s△abc＝ac·bc＝5，即△abc的面積為5.
8．(6分)(2015呼和浩特中考)如圖，⊙o是△abc的外接圓，p是⊙o外的一點，am是⊙o的直徑，∠pac＝∠abc
(1)求證：pa是⊙o的切線；
(2)連線pb與ac交於點d，與⊙o交於點e，f為bd上的一點，若m為的中點，且∠dcf＝∠p，求證：＝＝.
證明：(1)連線cm，∵∠pac＝∠abc，∠m＝∠abc，∴∠pac＝∠m，∵am為直徑，∴∠m＋∠mac＝90°，∴∠pac＋∠mac＝90°，即：∠map＝90°，∴ma⊥ap，∴pa是⊙o的切線；(2)連線ae，∵m為中點，am為⊙o的直徑，∴am⊥bc，∵am⊥ap，∴ap∥bc，∴△adp∽△cdb，∴＝，∵ap∥bc，∴∠p＝∠cbd，∵∠cbd＝∠cae，∴∠p＝∠cae，∵∠p＝∠dcf，∴∠dcf＝∠cae，∵∠ade＝∠cdf，∴△ade∽△cdf，∴＝，∴＝＝.
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