型別之一與切線的性質有關的計算或證明
【經典母題】
如圖z12－1，⊙o的切線pc交直徑ab的延長線於點p，c為切點，若∠p＝30°，⊙o的半徑為1，則pb的長為__1__．
圖z12－1 經典母題答圖
【解析】 如答圖，鏈結oc.
∵pc為⊙o的切線，∴∠pco＝90°，
在rt△ocp中，∵oc＝1，∠p＝30°，
∴op＝2oc＝2，
∴pb＝op－ob＝2－1＝1.
【思想方法】 (1)已知圓的切線，可得切線垂直於過切點的半徑；(2)已知圓的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直．
【中考變形】
[2017·天津]已知ab是⊙o的直徑，at是⊙o的切線，∠abt＝50°，bt交⊙o於點c，e是ab上一點，延長ce交⊙o於點d.
(1)如圖z12－2①，求∠t和∠cdb的大小；
(2)如圖②，當be＝bc時，求∠cdo的大小．
圖z12－2
解：(1)如答圖①，鏈結ac，
∵at是⊙o的切線，ab是⊙o的直徑，
∴at⊥ab，即∠tab＝90°，
∵∠abt＝50°，∴∠t＝90°－∠abt＝40°，
由ab是⊙o的直徑，得∠acb＝90°，
∴∠cab＝90°－∠abc＝40°，∴∠cdb＝∠cab＝40°；
中考變形答圖中考變形答圖②
(2)如答圖②，鏈結ad，
在△bce中，be＝bc，∠ebc＝50°，
∴∠bce＝∠bec＝65°，∴∠bad＝∠bcd＝65°，
∵oa＝od，∴∠oda＝∠oad＝65°，
∵∠adc＝∠abc＝50°，
∴∠cdo＝∠oda－∠adc＝65°－50°＝15°.
【中考**】
[2017·宿遷]如圖z12－3，ab與⊙o相切於點b，bc為⊙o的弦，oc⊥oa，oa與bc相交於點p.
(1)求證：ap＝ab；
(2)若ob＝4，ab＝3，求線段bp的長．
圖z12－3中考**答圖
解：(1)證明：∵oc＝ob，∴∠ocb＝∠obc，
∵ab是⊙o的切線，∴ob⊥ab，
∴∠oba＝90°，∴∠abp＋∠obc＝90°，
∵oc⊥ao，∴∠aoc＝90°，
∴∠ocb＋∠cpo＝90°，∵∠apb＝∠cpo，
∴∠apb＝∠abp，∴ap＝ab；
(2)如答圖，作oh⊥bc於h.在rt△oab中，∵ob＝4，ab＝3，
∴oa＝＝5，∵ap＝ab＝3，
∴po＝2.
在rt△poc中，pc＝＝2，
∵pc·oh＝oc·op，
∴oh＝＝，
∴ch＝＝，
∵oh⊥bc，∴ch＝bh，∴bc＝2ch＝，
∴bp＝bc－pc＝－2＝.
型別之二與切線的判定有關的計算或證明
【經典母題】
已知：如圖z12－4，a是⊙o外一點，ao的延長線交⊙o於點c，點b在圓上，且ab＝bc，∠a＝30°，求證：直線ab是⊙o的切線．
圖z12－4經典母題答圖
證明：如答圖，鏈結ob，
∵ob＝oc，ab＝bc，∠a＝30°，
∴∠obc＝∠c＝∠a＝30°，
∴∠aob＝∠c＋∠obc＝60°.
∵∠abo＝180°－(∠aob＋∠a)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴ab⊥ob，又∵ob為⊙o半徑，∴ab是⊙o的切線．
【思想方法】 證明圓的切線常用兩種方法「作半徑，證垂直」或者「作垂直，證半徑」．
【中考變形】
1．[2016·黃石]如圖z12－5，⊙o的直徑為ab，點c在圓周上(異於a，b)，ad⊥cd.
(1)若bc＝3，ab＝5，求ac的值；
(2)若ac是∠dab的平分線，求證：直線cd是⊙o的切線．
圖z12－5 中考變形1答圖
解：(1)∵ab是⊙o直徑，c在⊙o上，
∴∠acb＝90°，又∵bc＝3，ab＝5，
∴由勾股定理，得ac＝4；
(2)證明：如答圖，鏈結oc，
∵ac是∠dab的平分線，
∴∠dac＝∠bac，
又∵ad⊥dc，∴∠adc＝∠acb＝90°，
∴△adc∽△acb，∴∠dca＝∠cba，
又∵oa＝oc，∴∠oac＝∠oca，
∵∠oac＋∠obc＝90°，∴∠oca＋∠acd＝∠ocd＝90°，
∴直線cd是⊙o的切線．
2．[2017·南充]如圖z12－6，在rt△acb中，∠acb＝90°，以ac為直徑作⊙o交ab於點d，e為bc的中點，鏈結de並延長交ac的延長線點f.
(1)求證：de是⊙o的切線；
(2)若cf＝2，df＝4，求⊙o直徑的長．
圖z12－6中考變形2答圖
【解析】 (1)鏈結od，欲證de是⊙o的切線，需證od⊥de，即需證∠ode＝90°，而∠acb＝90°，鏈結cd，根據「等邊對等角」可知∠ode＝∠oce＝90°，從而得證；
(2)在rt△odf中，利用勾股定理建立關於半徑的方程求解．
解：(1)證明：如答圖，鏈結od，cd.
∵ac是⊙o的直徑，∴∠adc＝90°.
∴∠bdc＝90°.又∵e為bc的中點，
∴de＝bc＝ce，∴∠edc＝∠ecd.
∵od＝oc，∴∠odc＝∠ocd.
∴∠edc＋∠odc＝∠ecd＋∠ocd＝∠acb＝90°.
∴∠ode＝90°，∴de是⊙o的切線；
(2)設⊙o的半徑為x.在rt△odf中，od2＋df2＝of2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙o的直徑為6.
【中考**】
如圖z12－7，ab是⊙o的直徑，點c，d在⊙o上，∠a＝2∠bcd，點e在ab的延長線上，∠aed＝∠abc.
(1)求證：de與⊙o相切；
(2)若bf＝2，df＝，求⊙o的半徑．
圖z12－7中考**答圖
解：(1)證明：如答圖，鏈結od.
∵ab是⊙o的直徑，
∴∠acb＝90°，
∴∠a＋∠abc＝90°，
∵∠bod＝2∠bcd，∠a＝2∠bcd，
∴∠bod＝∠a，
∵∠aed＝∠abc，∴∠bod＋∠aed＝90°，
∴∠ode＝90°，即od⊥de，∴de與⊙o相切；
(2)如答圖，鏈結bd，過點d作dh⊥bf於點h.
∵de與⊙o相切，∴∠acd＋∠bcd＝∠odb＋∠bde＝90°，
∵∠acd＝∠obd，∠obd＝∠odb，∴∠bde＝∠bcd，
∵∠aed＝∠abc，∴∠afc＝∠dbf，
∵∠afc＝∠dfb，∴△acf與△fdb都是等腰三角形，
∴fh＝bh＝bf＝1，∴hd＝＝3，
在rt△odh中，oh2＋dh2＝od2，即(od－1)2＋32＝od2，
∴od＝5.即⊙o的半徑是5.
出題與圓有關的切線習題經典
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