1. （江蘇省蘇州市）如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc．o是cd邊的中點，以o為圓心，oc長為半徑作圓，交bc邊於點e．過e作eh⊥ab，垂足為h．已知⊙o與ab邊相切，切點為f．
（1）求證：oe∥ab；
（2）求證：eh＝ab；
（3）若＝，求的值．
2. （廣東省梅州市）如圖，矩形abcd中，ab＝5，ad＝3．點e是cd上的動點，以ae為直徑的⊙o與ab交於點f，過點f作fg⊥be於點g．
（1）當e是cd的中點時：
①tan∠eab的值為
②證明：fg是⊙o的切線；
（2）試**：be能否與⊙o相切？若能，求出此時的長；
若不能，請說明理由．
3. 如圖，以bc為直徑的⊙o交△cfb的邊cf於點a，bm平分
∠abc交ac於點m，ad⊥bc於點d，ad交bm於點n，me⊥bc於點e，ab2=af·ac，
cos∠abd=，ad=12．
⑴求證：△anm≌△enm；
⑵求證：fb是⊙o的切線；
⑶證明四邊形amen是菱形，並求該菱形的面積s．
4. （江蘇省鎮江市）如圖，已知△abc中，ab＝bc，以ab為直徑的⊙o交ac於點d，過d作de⊥bc，垂足為e，鏈結oe，cd＝，∠acb＝30°．
（1）求證：de是⊙o的切線；
（2）分別求ab，oe的長；
（3）填空：如果以點e為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點o的距離為1，則r的取值範圍為
5. （廣東省肇慶市）如圖，⊙o的直徑ab＝2，am和bn是它的兩條切線，de切⊙o於e，交am於d，交bn於c．設ad＝x，bc＝y．
（1）求證：am∥bn；
（2）求y關於x的關係式；
（3）求四邊形abcd的面積s，並證明：s ≥2．
1. 2.
6.已知，如圖，在半徑為4的⊙o中，ab、cd是兩條直徑，m為ob的中點，cm的延長線交⊙o於點e，且em>mc，鏈結de，de=． （1）求em的長；（2）求sin∠eob的值．
7.如圖，已知⊙o是△abc的外接圓，ab是⊙o的直徑，d是ab延長線上一點，ae⊥dc交dc的延長線於點e，且ac平分∠eab．
（1）求證：de是⊙o切線；
（2）若ab=6，ae=，求bd和bc的長．
10.如圖，已知矩形abcd，以a為圓心，ad為半徑的圓交ac、ab於m、e，ce的延長線交⊙a於f，cm=2，ab=4．
（1）求⊙a的半徑；（2）求ce的長和△afc的面積．
11.如圖，正方形abcd是⊙o的內接正方形，延長ba到e，使ae=ab，鏈結ed．
（1）求證：直線ed是⊙o的切線；
（2）鏈結eo交ad於點f，求證：ef=2fo．
12.如圖，梯形abcd內接於⊙o，ad∥bc，過點c作⊙o的切線，交bc的延長線於點p，交ad的延長線於點e，若ad=5，ab=6，bc=9。
⑴求dc的長；
⑵求證：四邊形abce是平行四邊形。
13.pc切⊙o於點c，過圓心的割線pab交⊙o於a、b兩點，be⊥pe，垂足為e，be交⊙o於點d，f是pc上一點，且pf＝af，fa的延長線交⊙o於點g。
求證：（1）∠fgd＝2∠pbc；（2）.
14.已知：如圖，△abc內接於⊙o，直徑cd⊥ab，垂足為e。弦bf交cd於點m，交ac於點n，且bf=ac，鏈結ad、am，
求證：(1)△acm≌△bcm；
(2)ad·be=de·bc；
(3)bm2=mn·mf。
15.已知：如圖，以rt△abc的斜邊ab為直徑作⊙o，d是⊙o上的點，且有ac=cd。過點c作⊙o的切線，與bd的延長線交於點e，鏈結cd。
(1)試判斷be與ce是否互相垂直?請說明理由；
(2)若cd=2，tan∠dce=，求⊙o的半徑長。
15.如圖，已知四邊形abcd內接於⊙o，a是弧bfd的中點，ae⊥ac於a，與⊙o及cb的延長線分別交於點f、e，且弧bf＝弧ad，em切⊙o於m。
⑴△adc∽△eba；
⑵ac2＝bc·ce；
⑶如果ab＝2，em＝3，求cot∠cad的值。
16.如圖矩形abcd中，過a，b兩點的⊙o切cd於e，交bc於f，ah⊥be於h，鏈結ef。
（1） 求證：∠cef＝∠bah
（2） 若bc＝2ce＝6，求bf的長。
17.如圖11，在△abc中，∠abc＝900，ab＝6，bc＝8。以ab為直徑的⊙o交ac於d，e是bc的中點，連線ed並延長交ba的延長線於點f。
（1）求證：de是⊙o的切線；
（2）求db的長；
（3）求s△fad∶s△fdb的值
7、知直線l與◎○相切於點a，直徑ab=6，點p在l上移動，連線op交⊙○於點c，連線bc並延長bc交直線l於點d.
(1)若ap=4，求線段pc的長;（4分）
(2)若δpao與δbad相似，求∠apo的度數和四邊形oadc的面積.（答案要求保留根號）
18.如圖1：⊙o的直徑為ab，過半徑oa的中點g作弦ce⊥ab，在上取一點d，分別作直線cd、ed交直線ab於點f、m。
（1）求∠coa和∠fdm的度數；
（2）求證：△fdm∽△com；
（3）如圖2：若將垂足g改取為半徑ob上任意一點，點d改取在上，仍作直線cd、ed，分別交直線ab於點f、m，試判斷：此時是否仍有△fdm∽△com？證明你的結論。
19.已知：如圖，bd是⊙o的直徑，過圓上一點a作⊙o的切線交db的延長線於p，過b點作bc∥pa交⊙o於c，鏈結ab、ac。
（1） 求證：ab=ac；
（2） 若pa=10，pb=5，求⊙o的半徑和ac的長。
20.如圖，ab是△abc的外接圓⊙o的直徑，d是⊙o上的一點，de⊥ab於點e，且de的延長線分別交ac、⊙o、bc的延長線於f、m、g.
（1）求證：ae·be＝ef·eg；
（2）鏈結bd，若bd⊥bc，且ef＝mf＝2，求ae和mg的長.
21.如圖，在梯形abcd中，ab∥dc，ad=bc，以ad為直徑的圓o交ab於點e，圓o的切線ef交bc於點f. 求證：（1）∠def=∠b;（2）ef⊥bc
23.如圖，ab是⊙o的直徑，⊙o交bc於d，過d作⊙o的切線de交ac於e，且de⊥ac.
（1） 求證：d是bc的中點；
（2） 已知cd=8，ce=6.4，點o1在弦ad上運動，以o1為圓心，以1為半徑的⊙o1與⊙o有怎樣的位置關係？請說明理由。
24.如圖2-4-33，ab是⊙o的直徑，ae平分∠baf，交⊙o於點e，過點e作直線ed⊥af，交af的延長線於點d，交ab的延長線於點c.
⑴求證：cd是⊙o的切線；
⑵若cb=2，ce=4，求ae的長.
25.如圖2-4-35，a為⊙o的弦ef上的一點，ob是和這條弦垂直的半徑，垂足為h，ba的延長線交⊙o於點c，過點c作⊙o的切線ef的延長線交於點d.
⑴求證：da=dc.
⑵當df：ef=1：8且df=時，求ab·ac的值.
⑶將圖2-4-35中的ef所在直線往上平移到⊙o外，如圖2-4-36的位置，使ef與ob延長線垂直，垂足為h，a為ef上異於h的一點，且ah小於⊙o的半徑，ab的延長線交⊙o於c，過c作⊙o的切線交ef於d.試猜想da=dc是否仍然成立？並證明你的結論.
26．(2023年貴州省黔南州中考題)如圖2-4-38，pa為圓的切線，a為切點，pbc為割線，∠apc的平分線交ab於點d，交ac於點e.求證：
⑴adae；⑵ab·aeac·db.
27.如圖，已知⊙o的兩條弦ac、bd相交於點q，oa⊥bd．
（1）求證：ab2=aq·ac：
（2）若過點c作⊙o的切線交db的延長線於點p，求證：pc=pq．
29.已知如圖2-4-28，be是⊙o的走私過圓上一點作⊙o的切線交eb的延長線於p．過e點作ed∥ap交⊙o於d，鏈結db並延長交pa於c，鏈結ab、ad．
（1）求證：ab2＝pb·bd；
（2）若pa=10，pb=5，求ab和cd的長．
圓的有關計算與證明
中考第22題圓的計算與證明專題研討 1 如圖，已知 o1和 o2相交於a b兩點，直線ao1交 o1於點c，交 o2於點d，cb的 延長線交 o2於點e，連線de，已知cd 8，de 6。求ce的長。2 如圖，已知ab是 o的直徑，p為ab延長線上一動點，過點p作 o的切線，設切點 為c，作 apc...
與圓有關的計算與證明
常見輔助線作法 一 作半徑 1.作半徑構造等腰三角形2.作過切點的半徑3.作半徑和弦心距或弦心距 二 作弦1.作垂直於直徑的弦2.作過切點的弦 三 作直徑或直徑所對的圓周角 四 兩圓相切時作兩圓的公切線或連心線 五 兩圓相交時作公共弦或連心線 六 鏈結內切圓圓心與各頂點，或過內切圓圓心作各邊的垂線 ...
專題七圓的有關證明與計算
時間 40分鐘分值 50分 1 6分 2015臨沂中考 如圖，點o為rt abc斜邊ab上的一點，以oa為半徑的 o與bc切於點d，與ac交於點e，連線ad.1 求證 ad平分 bac 2 若 bac 60 oa 2，求陰影部分的面積 結果保留 解 1 證明 連線od，o切bc於點d，od bc，a...