一、圓中等積式的證明
【知識要點】
證明圓中等積式的方法通常有以下幾種：
（1）利用相似三角形的對應邊成比例證明．
（2）利用圓冪定理證明．
（3）利用建立起來的等積式，進行線段代換，得出所證的等積式．
（4）證明等積式兩邊兩線段的乘積都等於第三個某兩線段乘積．
【典型例題】
例1．如圖1，已知：rt△abc中，∠acb=90°，d為bc邊上一點，以bd為直徑作⊙o，交ab於e，ce交⊙o於f，bf的延長線交ac於g．求證：
例2．如圖2，已知：△abc內接於⊙o，∠bac的外角平分線交bc的延長線於點d，da的延長線交⊙o於點e．求證：．
例3．如圖3，已知正方形abcd內接於⊙o，e為ad上一點，過c點與⊙o相切的cp與ed的延長線相交於點p，求證：．
【針對練習】
1．如圖4，⊙o的直徑ab的延長線與弦cd的延長線相交於點p，e為⊙o上一點，ae=ac，de交ab於點f，求證：．
2．如圖5，已知bc為半圓的直徑，ad與半圓相切於點d，在ab上擷取ae=ad，過e作ef⊥ab，交ac的延長線於點f，過f作gf∥bc交ab的延長線於點g．求證：（1）ae:ab=ac:
af；（2）．
二、圓中兩直線平行的證明
在圓中證明兩直線平行，主要是依據圓的有關性質轉化角等，求邊角關係．
例1．如圖1，pa、pb是⊙o的兩條割線，且pa=pb，aoc是直徑．求證：op∥bc．
例2．如圖2，⊙o的兩條弦ab、cd相交於點e，在bc的延長線上取一點p，過p作切線，切⊙o於點f，且pf=pe．求證：pe∥ad．
【針對練習】
1．如圖3，⊙和⊙相交於點b和點c，a是⊙上一點，at為⊙的切線，ab和ac的延長線分別交⊙於點d和點e．求證：at∥de．
2．如圖4，以rt△abc的直角邊ab為直徑作⊙o，交斜邊ac於d，過d作⊙o的切線，交bc於e．求證：oe∥ac．
4．如圖5，已知pt是⊙o的切線，t為切點，過pt的中點m作割線交⊙o於點a、b，鏈結pa、pb，並延長交⊙o於點d、c，求證：pt∥cd．
三、圓中兩條直線垂直的證明
在圓中，證明兩條直線互相垂直的方法主要有以下幾個：
（1）平分弦（或弧）的直徑必垂直於該弦．
（2）過切點的半徑垂直於切線．
（3）直徑所對的圓周角是直角．
（4）相交兩圓的連心線垂直於公共弦．
（5）兩相切圓的連心線垂直於過切點的公切線．
例1．已知：如圖1，⊙o的直徑ab與弦cd相交於g，e是cd延長線上的一點，鏈結ae交⊙o於f．若．求證：ab⊥cd．
例2．已知：如圖3，bc是⊙o的直徑，點a為cb延長線上一點，且ab=bc=2，作割線apm交⊙o於點p、m，使ap:pm=3:2，鏈結mo．求證：mo⊥ac．
【針對練習】
1．如圖4，△abc中，ab=ac，以ab為直徑的半圓o交ac於e，交bc於d，過點e作半圓的切線ef，交od的延長線於點f，鏈結fb．求證：ab⊥fb．
2．如圖5，⊙o內接四邊形abcd中，延長ab、dc交於e，且∠e=∠adb，af是⊙o的直徑．求證：af⊥cd．
3．如圖6，⊙o與⊙a的公共弦是bc，點a在⊙o上，pb交⊙a於d，pa交cd於e，求證：pe⊥cd．
【作業】日期姓名完成時間成績
1．如圖1，at切⊙o於t，adb交⊙o於d、b，bc是⊙o的的直徑，在ab上擷取ae=at，過e作ab的垂線ef，交ac的延長線於f，求證：．
2．如圖2，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ba、cd的延長線交於e，fg切⊙o於g，且與cb的延長線交於f．若fg=fe，求證：ad∥fe．
3．如圖3，⊙和⊙相交於a、b兩點，過點a的直線交兩圓於c、d，過點b的直線交兩圓於e、f．求證：ec∥fd．
4．如圖4，ab是⊙o 的直徑，p是⊙o外一點，pa切⊙o於a，割線pcb交⊙o於點c、b，m是bc的中點，am交pb於e，pd是∠apb的平分線．求證：pd⊥am．
圓的有關計算與證明
中考第22題圓的計算與證明專題研討 1 如圖，已知 o1和 o2相交於a b兩點，直線ao1交 o1於點c，交 o2於點d，cb的 延長線交 o2於點e，連線de，已知cd 8，de 6。求ce的長。2 如圖，已知ab是 o的直徑，p為ab延長線上一動點，過點p作 o的切線，設切點 為c，作 apc...
圓的有關性質與證明
1 如圖，ab是 o的直徑，c是弧bd的中點，ce ab，垂足為e,bd交ce於f 1 求證 cf bf 2 若ad 2，o的半徑為3，求bc的長 2 如圖，ab是 o的直徑，d是 o上的一點，過o作ab的垂線交ad與e,交bd的延長線於c,f是ce上一點，且fd fe.1 求證 fd是 o的切線 ...
與圓有關的計算與證明
常見輔助線作法 一 作半徑 1.作半徑構造等腰三角形2.作過切點的半徑3.作半徑和弦心距或弦心距 二 作弦1.作垂直於直徑的弦2.作過切點的弦 三 作直徑或直徑所對的圓周角 四 兩圓相切時作兩圓的公切線或連心線 五 兩圓相交時作公共弦或連心線 六 鏈結內切圓圓心與各頂點，或過內切圓圓心作各邊的垂線 ...