中考備考數學專題八
和圓有關的證明與計算
● 典例分析：
一、圓與函式的證明與計算
（2013荊門）如圖1，正方形abcd的邊長為2，點m是bc的中點，p是線段mc上的乙個動點（不與m、c重合），以ab為直徑作⊙o，過點p作⊙o的切線，交ad於點f，切點為e．
（1）求證：of∥be；
（2）設bp=x，af=y，求y關於x的函式解析式，並寫出自變數x的取值範圍；
（3）延長dc、fp交於點g，連線oe並延長交直線dc與h（圖2），問是否存在點p，使△efo∽△ehg（e、f、o與e、h、g為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．
二、圓與三角的證明與計算
（2013南寧）如圖，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ab是⊙o的直徑，⊙o交bc於點d，de⊥ac於點e，be交⊙o於點f，連線af，af的延長線交de於點p．
（1）求證：de是⊙o的切線；
（2）求tan∠abe的值；
（3）若oa=2，求線段ap的長．
三、圓與相似的證明與計算
（2013內江）如圖，ab是半圓o的直徑，點p在ba的延長線上，pd切⊙o於點c，bd⊥pd，垂足為d，連線bc．
（1）求證：bc平分∠pdb；
（2）求證：bc2=abbd；
（3）若pa=6，pc=6，求bd的長．
● 針對練習：
練習1（2013衡陽）如圖，在平面直角座標系中，已知a（8，0），b（0，6），⊙m經過原點o 及點a、b．
（1）求⊙m的半徑及圓心m的座標；
（2）過點b作⊙m的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠boa的平分線交ab於點n，交⊙m於點e，
求點n的座標和線段oe的長．
練習2（2013廣安）如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑作半圓⊙0，交bc於點d，連線ad，過點d作de⊥ac，垂足為點e，
交ab的延長線於點f．
（1）求證：ef是⊙0的切線．
（2）如果⊙0的半徑為5，sin∠ade=，
求bf的長．
練習3（2013柳州）如圖，⊙o的直徑ab=6，ad、
bc是⊙o的兩條切線，ad=2，bc=．
（1）求od、oc的長；
（2）求證：△doc∽△obc；
（3）求證：cd是⊙o切線．
練習1答案：
解：（1）∵∠aob=90°，∴ab為⊙m的直徑，
∵a（8，0），b（0，6），∴oa=8，ob=6，
∴ab==10，∴⊙m的半徑為5；圓心m的座標為（（4，3）；
（2）點b作⊙m的切線l交x軸於c，如圖，
∵bc與⊙m相切，ab為直徑，∴ab⊥bc，∴∠abc=90°，∴∠cbo+∠abo=90°，
而∠bao=∠abo=90°，∴∠bao=∠cbo，∴rt△abo∽rt△bco，
∴=，即=，解得oc=，∴c點座標為（﹣，0），
設直線bc的解析式為y=kx+b，
把b（0，6）、c點（﹣，0）分別代入，解得，
∴直線l的解析式為y=x+6；
（3）作nd⊥x軸，鏈結ae，如圖，
∵∠boa的平分線交ab於點n，∴△nod為等腰直角三角形，
∴nd=od，∴nd∥ob，∴△adn∽△aob，
∴nd：ob=ad：ao，∴nd：6=（8﹣nd）：8，解得nd=，
∴od=，on=nd=，∴n點座標為（，）；
∵△adn∽△aob，∴nd：ob=an：ab，即：6=an：10，解得an=，
∴bn=10﹣=，∵∠oba=oea，∠boe=∠bae，∴△bon∽△ean，
∴bn：ne=on：an，即：ne=：，解得ne=，
∴oe=on+ne=+=7．
練習2答案：（1）證明：鏈結od，如圖，
∵ab為⊙0的直徑，∴∠adb=90°，∴ad⊥bc，
∵ab=ac，∴ad平分bc，即db=dc，∵oa=ob，
∴od為△abc的中位線，∴od∥ac，
∵de⊥ac，∴od⊥de，∴ef是⊙0的切線；
（2）解：∵∠dac=∠dab，∴∠ade=∠abd，
在rt△adb中，sin∠ade=sin∠abd==，而ab=10，∴ad=8，
在rt△ade中，sin∠ade==，∴ae=，
∵od∥ae，∴△fdo∽△fea，∴=， ∴bf=．
練習3答案：
（1）解：∵ad、bc是⊙o的兩條切線，
∴∠oad=∠obc=90°，
在rt△aod與rt△boc中，oa=ob=3，ad=2，bc=，
根據勾股定理得：od==，oc==；
（2）證明：過d作de⊥bc，可得出∠dab=∠abe=∠bed=90°，
∴四邊形abed為矩形，∴be=ad=2，de=ab=6，ec=bc﹣be=，
在rt△edc中，根據勾股定理得：dc==，∵，
∴△doc∽△obc；
（3）證明：過o作of⊥dc，交dc於點f，
∵△doc∽△obc
∴∠bco=∠fco
∵在△bco和△fco中，
，， ∴△bco≌△fco（aas），
∴ob=of，
即cd是⊙o切線．
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