專題六圓與多變形計算與證明專題
第一課時
典型例題
1.在中，，是邊上一點，以為直徑的與邊相切於點，鏈結並延長，與的延長線交於點．.若，求的面積．
2.如圖3，直線經過⊙上的點，並且⊙交直線於、兩點，連線，，．求證：
（1）；
（2）∽．
圖33. 如圖11，梯形abcd內接於⊙o，ad∥bc，過點c作⊙o的切線，交bd的延長線於點p，交ad的延長線於點e，若ad=5，ab=6，bc=9.求dc的長
圖114.如圖11，直線經過⊙o上的點，並且，，⊙o交直線於，連線．
（1）求證：直線是⊙o的切線
（2）試猜想三者之間的等量關係，並加以證明
（3）若，⊙o的半徑為3，求的長
5.（2005，溫州，12分）如圖，已知四邊形abcd內接於⊙o，a是的中點，ae⊥ac於a，與⊙o及cb的延長線分別交於點f、e，且，em切⊙o於m。
⑴ △adc∽△eba；⑵ ac2＝bc·ce；⑶如果ab＝2，em＝3，求cot∠cad的值。
6.如圖1和圖2，mn是⊙o的直徑，弦ab、cd相交於mn上的一點p，∠apm=∠cpm．
（1）由以上條件，你認為ab和cd大小關係是什麼，請說明理由．
（2）若交點p在⊙o的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．
圖1圖2
鞏固練習
7．如圖5，在⊙o中，∠acb=∠bdc=60°，ac=，
（1）求∠bac的度數； （2）求⊙o的周長
圖58.在中，，是邊上一點，以為直徑的與邊相切於點，鏈結並延長，與的延長線交於點．求證：；
圖49. 如圖5，⊙o與⊙p相交於a、b兩點，點 p在⊙o上，⊙o的弦ac切⊙p於點a，⊙o的直徑cp及其延長線交⊙p於d、e，過點 e作ef⊥ce交cb的延長線於f求證：bc是⊙p的切線；
10,如圖8，是的直徑，是弦，於點，
（1）求證：；
（2）若，設（），，請求出關於的函式解析式；
（3）**：當為何值時，．
第二課時
典型例題
1.如圖10，中，，為直角邊上一點，以為圓心，為半徑的圓恰好與斜邊相切於點，與交於另一點,. 若，，求⊙o的半徑及圖中陰影部分的面積
2.如圖4，圓心角都是90的扇形oab與扇形ocd疊放在一起，鏈結ac，bd．若圖中陰影部分的面積是，oa=2cm，求oc的長．
3．已知：如圖7，ab是⊙o的直徑，bc是⊙o的切線，連ac交⊙o於d，過d作⊙o的切線ef，交bc於e點.求證：oe//ac.
4.（2005，內江，10分）如圖⊙o半徑為2，弦bd＝，a為弧bd的中點，e為弦ac的中點，且在bd上。求：四邊形abcd的面積。
5.（2009河池）如圖1，在⊙o中，ab為⊙o的直徑，ac是弦，，．
（1）求∠aoc的度數；
（2）在圖1中，p為直徑ba延長線上的一點，當cp與⊙o相切時，求po的長；
（3） 如圖2，一動點m從a點出發，在⊙o上按逆時針方向運動，當時，求動點m所經過的弧長．
鞏固練習
6 .如圖9，給出四個條件：① pa切⊙o於點a；② pb 切⊙o於b；③ ac為⊙o直徑；
④ 弦cb∥po。（1）在上述四個條件中任選取三個作為題設，第四個作為結論，寫出乙個正確命題。（2）證明這個命題。
（1）已知
求證（2）證明
7.如圖10，ab是⊙o的直徑，點p在ba的延長線上，弦cd⊥ab，垂足為e，且pc2=pepo
① 求證：pc是⊙o的切線
② 若oe∶ea=1∶2，pa=6，求⊙o的半徑
③ 求sin∠pca的值
8.如圖，在中，，點在上，以為圓心， 長為半徑的圓與分別交於點，且．
（1）判斷直線與⊙o的位置關係，並證明你的結論
（2）若，，求的長
9.如圖12所示，△abc內接於⊙o，ab是⊙o的直徑，點d在⊙o 上，過點c的切線交ad的延長線於點e，且ae⊥ce，連線cd．求證：dc=bc；
10. (2009煙台市) 如圖，ab，bc分別是的直徑和弦，點d為上一點，弦de交於點e，交ab於點f，交bc於點g，過點c的切線交ed的延長線於h，且，連線，交於點m，連線．
求證：（1）；2）．
第三課時
典型例題
1.如圖8.ab是⊙o的直徑，∠a=30o,延長ob到d使bd=ob.
(1)是否是等邊三角形？說明理由.（2）求證：dc是⊙o的切線.
2.(2009寧夏)23． 已知：如圖，為的直徑，交於點，交於點．（1）求的度數；（2）求證：．
3，如圖8，已知ab=ac，∠bac=120，在bc上取一點o，以o為圓心ob為半徑作圓，
①且⊙o過a點，過a作ad∥bc交⊙o於d，
求證：（1）ac是⊙o的切線；（2）四邊形boad是菱形。
點評：這是乙個平面幾何的綜合題，主要集中在圓的切線的判定定理的運用，特殊四邊形的判定這兩個方面，必須蒐集、整理題目的已知條件形成清晰的思路，還要注意推理的嚴謹性和完整性。
4．（2011湖南衡陽，24，8分）如圖，△abc內接於⊙o，ca=cb，cd∥ab且與oa的延長線交與點d．
(1)判斷cd與⊙o的位置關係並說明理由；(2)若∠acb=120°，oa=2，求cd的長．
5．（本題滿分8分）如圖，已知半徑為2的⊙o與直線l相切於點a，點p是直徑ab左側半圓上的動點，過點p作直線l的垂線，垂足為c，pc與⊙o交於點d，連線pa、pb，設pc的長為x（2 ＜ x ＜ 4）．
（1）當x=時，求弦pa、pb的長度；
（2）當x為何值時，pd · cd的值最大？最大值是多少？
鞏固練習
6.（本題滿分8分）如圖，已知ad為的直徑，b為ad延長線上一點，bc與切於c點，求證：（1）、bd=cd； （2）、△aoc≌△cdb.
7．已知：ab是的弦，d是的中點，過b作ab的垂線交ad的延長線於c．
（1）求證：ad＝dc；
（2）過d作⊙o的切線交bc於e，若de＝ec，求sinc．
8．如圖2—10，ab是⊙o的直徑，bd是⊙o的弦，延長bd到點c，使dc=bd，鏈結ac，過點d作de⊥ac，垂足為e。(1)求證：de為⊙o的切線；(2)若⊙o的半徑為5，∠bac=60°，求de的長．
9．（2023年安徽）如圖，mp切⊙o於點m，直線po交⊙o於點a、b，弦ac∥mp，求證：mo∥bc．
10.如圖6，ab是⊙o的直徑，弦bc=2cm，∠abc=60．
（1）求⊙o的直徑；
（2）若d是ab延長線上一點，鏈結cd，當bd長為多少時，cd與⊙o相切；
（3）若動點e以2cm/s的速度從a點出發沿著ab方向運動，同時動點f以1cm/s的速度從b點出發沿bc方向運動，設運動時間為，鏈結ef，當為何值時，△bef為直角三角形．
第四課時
典型例題
1．（本題滿分8分）如圖，是的直徑，為圓周上一點，，過點的切線與的延長線交於點．
求證：（1）；（2）≌．
專題複習圓的計算與證明
中考數學專題 圓綜合題 圓的綜合題是中考必考的一道大題，特別是證明圓的切線問題是中考的熱點。這類題型的一般解題思路是 要證相切，做輔助線連線圓心與切點自不必說，接下來就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即 連半徑，證垂直 近年來中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實上證明切線有兩種方...
專題三 圓的計算與證明
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圓的證明與計算複習專題
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