圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決後面問題的發揮有重要的影響，所以解決好此題比較關鍵。
一、考點分析：
1.圓中的重要定理:
(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.
(2)垂徑定理:主要是用來證明——弧相等、線段相等、垂直關係等等.
(3)三者之間的關係定理: 主要是用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.
(4)圓周角性質定理及其推輪: 主要是用來證明——直角、角相等、弧相等.
(5)切線的性質定理:主要是用來證明——垂直關係.
(6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線.
(7)切線長定理: 線段相等、垂直關係、角相等.
2.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉化.這在圓中的證明和計算中經常用到.
二、考題形式分析：
主要以解答題的形式出現,第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關的計算：①求線段長（或面積）；②求線段比；③求角度的三角函式值（實質還是求線段比）。
三、解題秘笈：
1、判定切線的方法：
（1）若切點明確，則「連半徑，證垂直」。
常見手法有：全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則「作垂直，證半徑」。
常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；
總而言之，要完成兩個層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；②直線與半徑的關係是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善於進行由此及彼的聯想、要總結常新增的輔助線.
例：（1）如圖，ab是⊙o的直徑，bc⊥ab，ad∥oc交⊙o於d點，求證：cd為⊙o的切線；
（2）如圖，以rt△abc的直角邊ab為直徑作⊙o，交斜邊ac於d，點e為bc的中點，鏈結de，求證：de是⊙o的切線.
（3）如圖，以等腰△abc的一腰為直徑作⊙o，交底邊bc於d，交另一腰於f，若de⊥ac於e（或e為cf中點），求證：de是⊙o的切線.
（4）如圖，ab是⊙o的直徑，ae平分∠baf，交⊙o於點e，過點e作直線ed⊥af，交af的延長線於點d，交ab的延長線於點c，求證：cd是⊙o的切線.
2、與圓有關的計算：
計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式複雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關係，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關係，從而化未知為已知，解決問題。
其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）構造思想：如：①構建矩形轉化線段；②構建「射影定理」基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：
弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函式.
（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關係，特別是發現其中的相等關係建立方程，解決問題。
（3）建模思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關係，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關係。
3、典型基本圖型：
圖形1：如圖1：ab是⊙o的直徑，點e、c是⊙o上的兩點，基本結論有：
（1）在「ac平分∠bae」；「ad⊥cd」；「dc是⊙o的切線」三個論斷中，知二推一。
（2）如圖2、3，de等於弓形bce的高；dc=ae的弦心距of（或弓形bce的半弦ef）。
（3）如圖（4）：若ck⊥ab於k，則：
①ck=cd；bk=de；ck=be=dc；ae+ab=2bk=2ad;
②⊿adc∽⊿acbac2=adab
（4）在(1)中的條件①、②、③中任選兩個條件，當bg⊥cd
於e時（如圖5），則：
①de=gb；②dc=cg；③ad+bg=ab；④adbg==dc2
圖形2：如圖：rt⊿abc中，∠acb=90°。點o是ac上一點，以oc為半徑作⊙o交ac於點e，基本結論有：
（1）在「bo平分∠cba」;「bo∥de」;「ab是⊙o的切線」;「bd=bc」。四個論斷中，知一推三。
（2）①g是⊿bcd的內心bco∽⊿cdebode=coce=ce2；
（3）在圖（1）中的線段bc、ce、ae、ad中，知二求四。
（4）如圖（3），若①bc=ce，則：②==tan∠ade；③bc：ac：ab=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④設be、cd交於點h，,則bh=2eh
圖形3：如圖：rt⊿abc中，∠abc=90°,以ab為直徑作⊙o交ac於d，基本結論有：
如右圖：（1）de切⊙oe是bc的中點；
（2）若de切⊙o，則：①de=be=ce；
②d、o、b、e四點共圓∠ced=2∠a
③cd·ca=4be2,
圖形特殊化：在（1）的條件下
如圖1：de∥ab⊿abc、⊿cde是等腰直角三角形；
如圖2：若de的延長線交ab的延長線於點f，若ab=bf，則：
① ;②
圖形4：如圖，⊿abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o，交bc於點d，交ac於點f，
基本結論有：
（1）de⊥acde切⊙o；
（2）在de⊥ac或de切⊙o下，有：①⊿dfc是等腰三角形；
②ef=ec；③d是的中點。④與基本圖形1的結論重合。
⑤連ad，產生母子三角形。
圖形5：：以直角梯形abcd的直腰為直徑的圓切斜腰於ｅ， 基本結論有：
（1）如圖1：①ad+bc＝cd； ②∠cod=∠aeb=90°； ③od平分∠adc（或oc平分∠bcd）；（注：在①、②、③及④「cd是⊙o的切線」四個論斷中，知一推三）
④ad·bc＝2=r2；
（2）如圖2，連ae、co，則有：co∥ae，coae=2r2(與基本圖形2重合)
（3）如圖3，若ef⊥ab於f，交ac於g，則：eg=fg.
圖形6：如圖：直線pr⊥⊙o的半徑ob於e，pq切⊙o於q，bq交直線pq於r。
基本結論有：
（1）pq=pr (⊿pqr是等腰三角形)；
（2）在「pr⊥ob」、「pq切⊙o」、「pq=pr」中，知二推一
（3）2pr·re=br·rq=be·2r=ab2
圖形7：如圖，⊿abc內接於⊙o，i為△abc的內心。基本結論有：
（1）如圖1，①bd=cd=id；②di2＝de·da；
③∠aib=90°+∠acb;
（2）如圖2，若∠bac=60°，則：bd+ce=bc.
圖形8：已知，ab是⊙o的直徑，c是中點，cd⊥ab於d。bg交cd、ac
於e、f。基本結論有：
（1）cd=bg；be=ef=ce；gf=2de
(反之，由cd=bg或be=ef可得：c是中點)
（2）oe=af，oe∥ac；⊿ode∽⊿agf
（3）be·bg=bd·ba
（4）若d是ob的中點，則：①⊿cef是等邊三角形
四、範例講解：
例題1：△abp中，∠abp=90°，以ab為直徑作⊙o交ap於c點，弧=，過c作af的垂線，垂足為m，mc的延長線交bp於d.
（1）求證：cd為⊙o的切線；
（2）連bf交ap於e，若be=6，ef=2，求的值。
例題2：直角梯形abcd中，∠bcd=90°，ab=ad+bc，ab為直徑的圓交bc於e，連oc、bd交於f.
⑴求證：cd為⊙o的切線
⑵若，求的值
例題3：如圖，ab為直徑，pb為切線，點c在⊙o上，ac∥op。
（1）求證：pc為⊙o的切線。
（2）過d點作de⊥ab，e為垂足，連ad交bc於g，cg=3，de=4，求的值。
例題4（2009調考）：如圖，已知△abc中，以邊bc為直徑的⊙o與邊ab交於點d，點e為的中點，af為△abc的角平分線，且af⊥ec。
（1）求證：ac與⊙o相切；
（2）若ac＝6，bc＝8，求ec的長
五、練習：
1．如圖，rt△abc，以ab為直徑作⊙o交ac於點d， ，過d作ae的垂線，f為垂足.
（1）求證：df為⊙o的切線；
（2）若df=3，⊙o的半徑為5，求的值.
2．如圖，ab為⊙o的直徑，c、d為⊙o上的兩點， ，過d作直線bc的垂線交直線ab於點e，f為垂足.
（1）求證：ef為⊙o的切線；
（2）若ac=6，bd=5，求的值.
3．如圖，ab為⊙o的直徑，半徑oc⊥ab，d為ab延長線上一點，過d作⊙o的切線，e為切點，鏈結ce交ab於點f.
（1）求證：de=df；
（2）鏈結ae，若of=1，bf=3，求的值.
4．如圖，rt△abc中，∠c=90°，bd平分∠abc，以ab上一點o為圓心過b、d兩點作⊙o，⊙o交ab於點一點e，ef⊥ac於點f.
（1）求證：⊙o與ac相切；
（2）若ef=3，bc=4，求的值.
5．如圖，等腰△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o交bc於點d，de⊥ac於e.
（1）求證：de為⊙o的切線；
（2）若bc=，ae=1，求的值.
6．如圖，bd為⊙o的直徑，a為的中點，ad交bc於點e，f為bc延長線上一點，且fd=fe.
（1）求證：df為⊙o的切線；
（2）若ae=2，de=4，△bdf的面積為，求的值.
7、如圖，ab是⊙o的直徑，m是線段oa上一點，過m作ab的垂線交ac於點n，交bc的延長線於點e，直線cf交en於點f，且∠ecf=∠e．
（1）求證：cf是⊙o的切線；
（2）設⊙o的半徑為1，且ac=ce，求的長．
8、如圖，ab是⊙o的直徑，bc⊥ab，過點c作⊙o的切線ce，點d是ce延長線上一點，鏈結ad，且ad+bc=cd.
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）設oe交ac於f，若of=3，ef=2，求線段bc的長.
9、如圖，△abc中，ab=bc，以ab為直徑的⊙o交ac於點d，且cd=bd.
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）已知點m、n分別是ad、cd的中點，bm延長線交⊙o於e，ef∥ac，分別交bd、bn的延長線於h、f，若dh=2，求ef的長.
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